Theory "quantHeuristics"

Signature

Definitions

GUESS_EXISTS_def

|- ∀i P. GUESS_EXISTS i P ⇔ ((∃v. P v) ⇔ ∃fv. P (i fv))

GUESS_FORALL_def

|- ∀i P. GUESS_FORALL i P ⇔ ((∀v. P v) ⇔ ∀fv. P (i fv))

GUESS_EXISTS_POINT_def

|- ∀i P. GUESS_EXISTS_POINT i P ⇔ ∀fv. P (i fv)

GUESS_FORALL_POINT_def

|- ∀i P. GUESS_FORALL_POINT i P ⇔ ∀fv. ¬P (i fv)

GUESS_EXISTS_GAP_def

|- ∀i P. GUESS_EXISTS_GAP i P ⇔ ∀v. P v ⇒ ∃fv. v = i fv

GUESS_FORALL_GAP_def

|- ∀i P. GUESS_FORALL_GAP i P ⇔ ∀v. ¬P v ⇒ ∃fv. v = i fv

IS_REMOVABLE_QUANT_FUN_def

|- ∀f. IS_REMOVABLE_QUANT_FUN f ⇔ ∀v. ∃x. f x = v

Theorems

GUESS_EXISTS_FORALL_REWRITES

|- (GUESS_EXISTS i P ⇔ ∀v. P v ⇒ ∃fv. P (i fv)) ∧
   (GUESS_FORALL i P ⇔ ∀v. ¬P v ⇒ ∃fv. ¬P (i fv))

GUESS_POINT_THM

|- (GUESS_EXISTS_POINT i P ⇒ ((∃v. P v) ⇔ T)) ∧
   (GUESS_FORALL_POINT i P ⇒ ((∀v. P v) ⇔ F))

GUESS_REWRITES

|- ((GUESS_EXISTS i P ⇔ ∀v. P v ⇒ ∃fv. P (i fv)) ∧
    (GUESS_FORALL i P ⇔ ∀v. ¬P v ⇒ ∃fv. ¬P (i fv))) ∧
   (∀i P. GUESS_EXISTS_POINT i P ⇔ ∀fv. P (i fv)) ∧
   (∀i P. GUESS_FORALL_POINT i P ⇔ ∀fv. ¬P (i fv)) ∧
   (∀i P. GUESS_EXISTS_GAP i P ⇔ ∀v. P v ⇒ ∃fv. v = i fv) ∧
   ∀i P. GUESS_FORALL_GAP i P ⇔ ∀v. ¬P v ⇒ ∃fv. v = i fv

GUESS_EXISTS_POINT_THM

|- ∀i P. GUESS_EXISTS_POINT i P ⇒ ($? P ⇔ T)

GUESS_FORALL_POINT_THM

|- ∀i P. GUESS_FORALL_POINT i P ⇒ ($! P ⇔ F)

GUESS_EXISTS_THM

|- ∀i P. GUESS_EXISTS i P ⇒ ($? P ⇔ ∃fv. P (i fv))

GUESS_FORALL_THM

|- ∀i P. GUESS_FORALL i P ⇒ ($! P ⇔ ∀fv. P (i fv))

GUESSES_UEXISTS_THM1

|- ∀i P. GUESS_EXISTS (λx. i) P ⇒ ($?! P ⇔ P i ∧ ∀v. P v ⇒ (v = i))

GUESSES_UEXISTS_THM2

|- ∀i P. GUESS_EXISTS_GAP (λx. i) P ⇒ ($?! P ⇔ P i)

GUESSES_UEXISTS_THM3

|- ∀i P. GUESS_EXISTS_POINT (λx. i) P ⇒ ($?! P ⇔ ∀v. P v ⇒ (v = i))

GUESSES_UEXISTS_THM4

|- ∀i P.
     GUESS_EXISTS_POINT (λx. i) P ⇒ GUESS_EXISTS_GAP (λx. i) P ⇒ ($?! P ⇔ T)

GUESSES_NEG_DUALITY

|- (GUESS_EXISTS i ($~ o P) ⇔ GUESS_FORALL i P) ∧
   (GUESS_FORALL i ($~ o P) ⇔ GUESS_EXISTS i P) ∧
   (GUESS_EXISTS_GAP i ($~ o P) ⇔ GUESS_FORALL_GAP i P) ∧
   (GUESS_FORALL_GAP i ($~ o P) ⇔ GUESS_EXISTS_GAP i P) ∧
   (GUESS_EXISTS_POINT i ($~ o P) ⇔ GUESS_FORALL_POINT i P) ∧
   (GUESS_FORALL_POINT i ($~ o P) ⇔ GUESS_EXISTS_POINT i P)

GUESSES_NEG_REWRITE

|- (GUESS_EXISTS i (λx. ¬P x) ⇔ GUESS_FORALL i (λx. P x)) ∧
   (GUESS_FORALL i (λx. ¬P x) ⇔ GUESS_EXISTS i (λx. P x)) ∧
   (GUESS_EXISTS_GAP i (λx. ¬P x) ⇔ GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x)) ∧
   (GUESS_FORALL_GAP i (λx. ¬P x) ⇔ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x)) ∧
   (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. ¬P x) ⇔ GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x)) ∧
   (GUESS_FORALL_POINT i (λx. ¬P x) ⇔ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x))

GUESSES_WEAKEN_THM

|- (GUESS_FORALL_GAP i P ⇒ GUESS_FORALL i P) ∧
   (GUESS_FORALL_POINT i P ⇒ GUESS_FORALL i P) ∧
   (GUESS_EXISTS_POINT i P ⇒ GUESS_EXISTS i P) ∧
   (GUESS_EXISTS_GAP i P ⇒ GUESS_EXISTS i P)

GUESS_RULES_EQUATION_EXISTS_POINT

|- ∀i P Q. (P i = Q i) ⇒ GUESS_EXISTS_POINT (λxxx. i) (λx. P x = Q x)

GUESS_RULES_EQUATION_FORALL_POINT

|- ∀i P Q. (∀fv. P (i fv) ≠ Q (i fv)) ⇒ GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x = Q x)

GUESS_RULES_EQUATION_EXISTS_GAP

|- ∀i. GUESS_EXISTS_GAP (λxxx. i) (λx. x = i)

GUESS_RULES_TRIVIAL_EXISTS_POINT

|- ∀i P. P i ⇒ GUESS_EXISTS_POINT (λxxx. i) P

GUESS_RULES_TRIVIAL_FORALL_POINT

|- ∀i P. ¬P i ⇒ GUESS_FORALL_POINT (λxxx. i) P

GUESS_RULES_BOOL

|- GUESS_EXISTS_POINT (λARB. T) (λx. x) ∧
   GUESS_FORALL_POINT (λARB. F) (λx. x) ∧ GUESS_EXISTS_GAP (λARB. T) (λx. x) ∧
   GUESS_FORALL_GAP (λARB. F) (λx. x)

GUESS_RULES_TWO_CASES

|- ∀y Q. (∀x. (x = y) ∨ ∃fv. x = Q fv) ⇒ GUESS_FORALL_GAP Q (λx. x = y)

GUESS_RULES_ONE_CASE___FORALL_GAP

|- ∀P Q. (∀x. ∃fv. x = Q fv) ⇒ GUESS_FORALL_GAP Q P

GUESS_RULES_ONE_CASE___EXISTS_GAP

|- ∀P Q. (∀x. ∃fv. x = Q fv) ⇒ GUESS_EXISTS_GAP Q P

GUESS_RULES_NEG

|- (GUESS_EXISTS i (λx. P x) ⇒ GUESS_FORALL i (λx. ¬P x)) ∧
   (GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x) ⇒ GUESS_FORALL_GAP i (λx. ¬P x)) ∧
   (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x) ⇒ GUESS_FORALL_POINT i (λx. ¬P x)) ∧
   (GUESS_FORALL i (λx. P x) ⇒ GUESS_EXISTS i (λx. ¬P x)) ∧
   (GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x) ⇒ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. ¬P x)) ∧
   (GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x) ⇒ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. ¬P x))

GUESS_RULES_CONSTANT_EXISTS

|- GUESS_EXISTS i (λx. p) ⇔ T

GUESS_RULES_CONSTANT_FORALL

|- GUESS_FORALL i (λx. p) ⇔ T

GUESS_RULES_DISJ

|- (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x) ⇒ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x ∨ Q x)) ∧
   (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. Q x) ⇒ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x ∨ Q x)) ∧
   (GUESS_EXISTS i (λx. P x) ∧ GUESS_EXISTS i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_EXISTS i (λx. P x ∨ Q x)) ∧
   (GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x) ∧ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x ∨ Q x)) ∧
   (GUESS_FORALL (λxxx. iK) (λx. P x) ∧ GUESS_FORALL (λxxx. iK) (λx. Q x) ⇒
    GUESS_FORALL (λxxx. iK) (λx. P x ∨ Q x)) ∧
   (GUESS_FORALL i (λx. P x) ⇒ GUESS_FORALL i (λx. P x ∨ q)) ∧
   (GUESS_FORALL i (λx. Q x) ⇒ GUESS_FORALL i (λx. p ∨ Q x)) ∧
   (GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x) ∧ GUESS_FORALL_POINT i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x ∨ Q x)) ∧
   (GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x) ⇒ GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x ∨ Q x)) ∧
   (GUESS_FORALL_GAP i (λx. Q x) ⇒ GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x ∨ Q x))

GUESS_RULES_CONJ

|- (GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x) ⇒ GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x ∧ Q x)) ∧
   (GUESS_FORALL_POINT i (λx. Q x) ⇒ GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x ∧ Q x)) ∧
   (GUESS_FORALL i (λx. P x) ∧ GUESS_FORALL i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_FORALL i (λx. P x ∧ Q x)) ∧
   (GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x) ∧ GUESS_FORALL_GAP i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x ∧ Q x)) ∧
   (GUESS_EXISTS (λxxx. iK) (λx. P x) ∧ GUESS_EXISTS (λxxx. iK) (λx. Q x) ⇒
    GUESS_EXISTS (λxxx. iK) (λx. P x ∧ Q x)) ∧
   (GUESS_EXISTS i (λx. P x) ⇒ GUESS_EXISTS i (λx. P x ∧ q)) ∧
   (GUESS_EXISTS i (λx. Q x) ⇒ GUESS_EXISTS i (λx. p ∧ Q x)) ∧
   (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x) ∧ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x ∧ Q x)) ∧
   (GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x) ⇒ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x ∧ Q x)) ∧
   (GUESS_EXISTS_GAP i (λx. Q x) ⇒ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x ∧ Q x))

GUESS_RULES_IMP

|- (GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x) ⇒ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x ⇒ Q x)) ∧
   (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. Q x) ⇒ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x ⇒ Q x)) ∧
   (GUESS_FORALL i (λx. P x) ∧ GUESS_EXISTS i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_EXISTS i (λx. P x ⇒ Q x)) ∧
   (GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x) ∧ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x ⇒ Q x)) ∧
   (GUESS_EXISTS (λxxx. iK) (λx. P x) ∧ GUESS_FORALL (λxxx. iK) (λx. Q x) ⇒
    GUESS_FORALL (λxxx. iK) (λx. P x ⇒ Q x)) ∧
   (GUESS_EXISTS i (λx. P x) ⇒ GUESS_FORALL i (λx. P x ⇒ q)) ∧
   (GUESS_FORALL i (λx. Q x) ⇒ GUESS_FORALL i (λx. p ⇒ Q x)) ∧
   (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x) ∧ GUESS_FORALL_POINT i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x ⇒ Q x)) ∧
   (GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x) ⇒ GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x ⇒ Q x)) ∧
   (GUESS_FORALL_GAP i (λx. Q x) ⇒ GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x ⇒ Q x))

GUESS_RULES_EQUIV

|- (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x) ∧ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x ⇔ Q x)) ∧
   (GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x) ∧ GUESS_FORALL_POINT i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x ⇔ Q x)) ∧
   (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x) ∧ GUESS_FORALL_POINT i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x ⇔ Q x)) ∧
   (GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x) ∧ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x ⇔ Q x)) ∧
   (GUESS_FORALL_GAP i (λx. P1 x) ∧ GUESS_FORALL_GAP i (λx. P2 x) ⇒
    GUESS_FORALL_GAP i (λx. P1 x ⇔ P2 x)) ∧
   (GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P1 x) ∧ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P2 x) ⇒
    GUESS_FORALL_GAP i (λx. P1 x ⇔ P2 x)) ∧
   (GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P1 x) ∧ GUESS_FORALL_GAP i (λx. P2 x) ⇒
    GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P1 x ⇔ P2 x)) ∧
   (GUESS_FORALL_GAP i (λx. P1 x) ∧ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P2 x) ⇒
    GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P1 x ⇔ P2 x))

GUESS_RULES_COND

|- (GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x) ∧ GUESS_FORALL_POINT i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_FORALL_POINT i (λx. if b x then P x else Q x)) ∧
   (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x) ∧ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_EXISTS_POINT i (λx. if b x then P x else Q x)) ∧
   (GUESS_EXISTS i (λx. P x) ∧ GUESS_EXISTS i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_EXISTS i (λx. if bc then P x else Q x)) ∧
   (GUESS_FORALL i (λx. P x) ∧ GUESS_FORALL i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_FORALL i (λx. if bc then P x else Q x)) ∧
   (GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x) ∧ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_EXISTS_GAP i (λx. if b x then P x else Q x)) ∧
   (GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x) ∧ GUESS_FORALL_GAP i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_FORALL_GAP i (λx. if b x then P x else Q x)) ∧
   (GUESS_FORALL_POINT i (λx. b x) ∧ GUESS_FORALL_POINT i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_FORALL_POINT i (λx. if b x then P x else Q x)) ∧
   (GUESS_FORALL_POINT i (λx. b x) ∧ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_EXISTS_POINT i (λx. if b x then P x else Q x)) ∧
   (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. b x) ∧ GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x) ⇒
    GUESS_FORALL_POINT i (λx. if b x then P x else Q x)) ∧
   (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. b x) ∧ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x) ⇒
    GUESS_EXISTS_POINT i (λx. if b x then P x else Q x)) ∧
   (GUESS_FORALL_GAP i (λx. b x) ∧ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x) ⇒
    GUESS_EXISTS_GAP i (λx. if b x then P x else Q x)) ∧
   (GUESS_EXISTS_GAP i (λx. b x) ∧ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_EXISTS_GAP i (λx. if b x then P x else Q x)) ∧
   (GUESS_EXISTS_GAP i (λx. b x) ∧ GUESS_FORALL_GAP i (λx. Q x) ⇒
    GUESS_FORALL_GAP i (λx. if b x then P x else Q x)) ∧
   (GUESS_FORALL_GAP i (λx. b x) ∧ GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x) ⇒
    GUESS_FORALL_GAP i (λx. if b x then P x else Q x))

GUESS_RULES_FORALL___NEW_FV

|- ((∀y. GUESS_FORALL_POINT (iy y) (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_FORALL_POINT (λfv. iy (FST fv) (SND fv)) (λx. ∀y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_FORALL (iy y) (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_FORALL (λfv. iy (FST fv) (SND fv)) (λx. ∀y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_FORALL_GAP (iy y) (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_FORALL_GAP (λfv. iy (FST fv) (SND fv)) (λx. ∀y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_EXISTS_GAP (iy y) (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_EXISTS_GAP (λfv. iy (FST fv) (SND fv)) (λx. ∀y. P x y))

GUESS_RULES_FORALL___NEW_FV_1

|- ((∀y. GUESS_FORALL_POINT (λxxx. i y) (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_FORALL_POINT i (λx. ∀y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_FORALL (λxxx. i y) (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_FORALL i (λx. ∀y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_FORALL_GAP (λxxx. i y) (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_FORALL_GAP i (λx. ∀y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_EXISTS_GAP (λxxx. i y) (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_EXISTS_GAP i (λx. ∀y. P x y))

GUESS_RULES_FORALL

|- ((∀y. GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_FORALL_POINT i (λx. ∀y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_FORALL i (λx. P x y)) ⇒ GUESS_FORALL i (λx. ∀y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_FORALL_GAP i (λx. ∀y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_EXISTS_POINT i (λx. ∀y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_EXISTS (λxxx. iK) (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_EXISTS (λxxx. iK) (λx. ∀y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x y)) ⇒ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. ∀y. P x y))

GUESS_RULES_EXISTS___NEW_FV

|- ((∀y. GUESS_EXISTS_POINT (iy y) (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_EXISTS_POINT (λfv. iy (FST fv) (SND fv)) (λx. ∃y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_EXISTS (iy y) (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_EXISTS (λfv. iy (FST fv) (SND fv)) (λx. ∃y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_EXISTS_GAP (iy y) (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_EXISTS_GAP (λfv. iy (FST fv) (SND fv)) (λx. ∃y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_FORALL_GAP (iy y) (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_FORALL_GAP (λfv. iy (FST fv) (SND fv)) (λx. ∃y. P x y))

GUESS_RULES_EXISTS___NEW_FV_1

|- ((∀y. GUESS_EXISTS_POINT (λxxx. i y) (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_EXISTS_POINT i (λx. ∃y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_EXISTS (λxxx. i y) (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_EXISTS i (λx. ∃y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_EXISTS_GAP (λxxx. i y) (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_EXISTS_GAP i (λx. ∃y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_FORALL_GAP (λxxx. i y) (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_FORALL_GAP i (λx. ∃y. P x y))

GUESS_RULES_EXISTS

|- ((∀y. GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_EXISTS_POINT i (λx. ∃y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_EXISTS i (λx. P x y)) ⇒ GUESS_EXISTS i (λx. ∃y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_EXISTS_GAP i (λx. ∃y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_FORALL_POINT i (λx. ∃y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_FORALL (λxxx. iK) (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_FORALL (λxxx. iK) (λx. ∃y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x y)) ⇒ GUESS_FORALL_GAP i (λx. ∃y. P x y))

GUESS_RULES_EXISTS_UNIQUE

|- ((∀y. GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_FORALL_POINT i (λx. ∃!y. P x y)) ∧
   ((∀y. GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x y)) ⇒
    GUESS_EXISTS_GAP i (λx. ∃!y. P x y))

GUESS_RULES_ELIM_UNIT

|- (GUESS_FORALL_POINT i vt ⇔ GUESS_FORALL_POINT (λx. i (x,())) vt) ∧
   (GUESS_EXISTS_POINT i vt ⇔ GUESS_EXISTS_POINT (λx. i (x,())) vt) ∧
   (GUESS_EXISTS i vt ⇔ GUESS_EXISTS (λx. i (x,())) vt) ∧
   (GUESS_FORALL i vt ⇔ GUESS_FORALL (λx. i (x,())) vt) ∧
   (GUESS_EXISTS_GAP i vt ⇔ GUESS_EXISTS_GAP (λx. i (x,())) vt) ∧
   (GUESS_FORALL_GAP i vt ⇔ GUESS_FORALL_GAP (λx. i (x,())) vt)

GUESS_RULES_STRENGTHEN_EXISTS_POINT

|- ∀P Q. (∀x. P x ⇒ Q x) ⇒ GUESS_EXISTS_POINT i P ⇒ GUESS_EXISTS_POINT i Q

GUESS_RULES_STRENGTHEN_FORALL_GAP

|- ∀P Q. (∀x. P x ⇒ Q x) ⇒ GUESS_FORALL_GAP i P ⇒ GUESS_FORALL_GAP i Q

GUESS_RULES_WEAKEN_FORALL_POINT

|- ∀P Q. (∀x. Q x ⇒ P x) ⇒ GUESS_FORALL_POINT i P ⇒ GUESS_FORALL_POINT i Q

GUESS_RULES_WEAKEN_EXISTS_GAP

|- ∀P Q. (∀x. Q x ⇒ P x) ⇒ GUESS_EXISTS_GAP i P ⇒ GUESS_EXISTS_GAP i Q

CONJ_NOT_OR_THM

|- ∀A B. A ∧ B ⇔ ¬(¬A ∨ ¬B)

EXISTS_NOT_FORALL_THM

|- ∀P. (∃x. P x) ⇔ ¬∀x. ¬P x

MOVE_EXISTS_IMP_THM

|- (∃x. (∀y. ¬P x y ⇒ R y) ⇒ Q x) ⇔ (∀y. ¬(∀x. P x y) ⇒ R y) ⇒ ∃x. Q x

UNWIND_EXISTS_THM

|- ∀a P. (∃x. P x) ⇔ (∀x. x ≠ a ⇒ ¬P x) ⇒ P a

LEFT_IMP_AND_INTRO

|- ∀x t1 t2. (t1 ⇒ t2) ⇒ x ∧ t1 ⇒ x ∧ t2

RIGHT_IMP_AND_INTRO

|- ∀x t1 t2. (t1 ⇒ t2) ⇒ t1 ∧ x ⇒ t2 ∧ x

LEFT_IMP_OR_INTRO

|- ∀x t1 t2. (t1 ⇒ t2) ⇒ x ∨ t1 ⇒ x ∨ t2

RIGHT_IMP_OR_INTRO

|- ∀x t1 t2. (t1 ⇒ t2) ⇒ t1 ∨ x ⇒ t2 ∨ x

IMP_NEG_CONTRA

|- ∀P i x. ¬P i ⇒ P x ⇒ x ≠ i

DISJ_IMP_INTRO

|- (∀x. P x ∨ Q x) ⇒ (¬P y ⇒ Q y) ∧ (¬Q y ⇒ P y)

IS_REMOVABLE_QUANT_FUN___EXISTS_THM

|- ∀f P. IS_REMOVABLE_QUANT_FUN f ⇒ ((∃x. P (f x)) ⇔ ∃x'. P x')

IS_REMOVABLE_QUANT_FUN___FORALL_THM

|- ∀f P. IS_REMOVABLE_QUANT_FUN f ⇒ ((∀x. P (f x)) ⇔ ∀x'. P x')

PAIR_EQ_EXPAND

|- (((x,y) = X) ⇔ (x = FST X) ∧ (y = SND X)) ∧
   ((X = (x,y)) ⇔ (FST X = x) ∧ (SND X = y))

PAIR_EQ_SIMPLE_EXPAND

|- (((x,y) = (x,y')) ⇔ (y = y')) ∧ (((y,x) = (y',x)) ⇔ (y = y')) ∧
   (((FST X,y) = X) ⇔ (y = SND X)) ∧ (((x,SND X) = X) ⇔ (x = FST X)) ∧
   ((X = (FST X,y)) ⇔ (SND X = y)) ∧ ((X = (x,SND X)) ⇔ (FST X = x))

IS_SOME_EQ_NOT_NONE

|- ∀x. IS_SOME x ⇔ x ≠ NONE

ISL_exists

|- ISL x ⇔ ∃l. x = INL l

ISR_exists

|- ISR x ⇔ ∃r. x = INR r

INL_NEQ_ELIM

|- ((∀l. x ≠ INL l) ⇔ ISR x) ∧ ((∀l. INL l ≠ x) ⇔ ISR x)

INR_NEQ_ELIM

|- ((∀r. x ≠ INR r) ⇔ ISL x) ∧ ((∀r. INR r ≠ x) ⇔ ISL x)

LENGTH_LE_PLUS

|- n + m ≤ LENGTH l ⇔ ∃l1 l2. (LENGTH l1 = n) ∧ m ≤ LENGTH l2 ∧ (l = l1 ++ l2)

LENGTH_LE_NUM

|- n ≤ LENGTH l ⇔ ∃l1 l2. (LENGTH l1 = n) ∧ (l = l1 ++ l2)

LENGTH_NIL_SYM

|- (0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])

LIST_LENGTH_COMPARE_1

|- (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
   (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_0

|- ((LENGTH l = 0) ⇔ (l = [])) ∧ ((0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])) ∧
   (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
   (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_1

|- ((LENGTH l = 1) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧ ((1 = LENGTH l) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧
   (0 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l > 0 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
   (1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l ≥ 1 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
   (1 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 1 + x ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (x + 1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 1 ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = 1 + x) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((1 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 1) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((x + 1 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = 0) ⇔ (l = [])) ∧ ((0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])) ∧
   (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
   (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_2

|- ((LENGTH l = 2) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
   ((2 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
   (1 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (LENGTH l > 1 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 2 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (2 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 2 + x ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (x + 2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 2 ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = 2 + x) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((2 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 2) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((x + 2 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = 1) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧ ((1 = LENGTH l) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧
   (0 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l > 0 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
   (1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l ≥ 1 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
   (1 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 1 + x ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (x + 1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 1 ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = 1 + x) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((1 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 1) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((x + 1 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = 0) ⇔ (l = [])) ∧ ((0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])) ∧
   (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
   (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_3

|- ((LENGTH l = 3) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
   ((3 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
   (2 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (LENGTH l > 2 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (3 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 3 + x ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (x + 3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = 3 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((3 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 3) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((x + 3 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = 2) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
   ((2 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
   (1 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (LENGTH l > 1 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 2 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (2 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 2 + x ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (x + 2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 2 ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = 2 + x) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((2 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 2) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((x + 2 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = 1) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧ ((1 = LENGTH l) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧
   (0 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l > 0 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
   (1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l ≥ 1 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
   (1 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 1 + x ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (x + 1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 1 ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = 1 + x) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((1 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 1) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((x + 1 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = 0) ⇔ (l = [])) ∧ ((0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])) ∧
   (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
   (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_4

|- ((LENGTH l = 4) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
   ((4 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
   (3 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (LENGTH l > 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (4 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (4 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 4 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   (x + 4 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 4 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((LENGTH l = 4 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((4 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 4) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((x + 4 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((LENGTH l = 3) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
   ((3 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
   (2 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (LENGTH l > 2 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (3 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 3 + x ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (x + 3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = 3 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((3 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 3) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((x + 3 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = 2) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
   ((2 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
   (1 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (LENGTH l > 1 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 2 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (2 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 2 + x ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (x + 2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 2 ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = 2 + x) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((2 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 2) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((x + 2 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = 1) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧ ((1 = LENGTH l) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧
   (0 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l > 0 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
   (1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l ≥ 1 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
   (1 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 1 + x ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (x + 1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 1 ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = 1 + x) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((1 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 1) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((x + 1 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = 0) ⇔ (l = [])) ∧ ((0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])) ∧
   (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
   (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_5

|- ((LENGTH l = 5) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
   ((5 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
   (4 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (LENGTH l > 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (5 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 5 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (5 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 5 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   (x + 5 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 5 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((LENGTH l = 5 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((5 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 5) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((x + 5 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((LENGTH l = 4) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
   ((4 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
   (3 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (LENGTH l > 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (4 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (4 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 4 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   (x + 4 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 4 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((LENGTH l = 4 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((4 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 4) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((x + 4 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((LENGTH l = 3) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
   ((3 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
   (2 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (LENGTH l > 2 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (3 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 3 + x ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (x + 3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = 3 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((3 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 3) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((x + 3 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = 2) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
   ((2 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
   (1 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (LENGTH l > 1 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 2 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (2 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 2 + x ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (x + 2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 2 ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = 2 + x) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((2 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 2) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((x + 2 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = 1) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧ ((1 = LENGTH l) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧
   (0 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l > 0 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
   (1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l ≥ 1 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
   (1 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 1 + x ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (x + 1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 1 ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = 1 + x) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((1 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 1) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((x + 1 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = 0) ⇔ (l = [])) ∧ ((0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])) ∧
   (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
   (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_7

|- ((LENGTH l = 7) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7]) ∧
   ((7 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7]) ∧
   (6 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
   (LENGTH l > 6 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
   (7 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 7 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
   (7 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 7 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   (x + 7 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 7 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((LENGTH l = 7 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((7 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 7) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((x + 7 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((LENGTH l = 6) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6]) ∧
   ((6 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6]) ∧
   (5 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
   (LENGTH l > 5 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
   (6 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 6 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
   (6 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 6 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   (x + 6 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 6 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((LENGTH l = 6 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((6 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 6) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((x + 6 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((LENGTH l = 5) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
   ((5 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
   (4 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (LENGTH l > 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (5 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 5 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (5 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 5 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   (x + 5 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 5 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((LENGTH l = 5 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((5 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 5) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((x + 5 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((LENGTH l = 4) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
   ((4 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
   (3 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (LENGTH l > 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (4 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (4 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 4 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   (x + 4 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 4 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((LENGTH l = 4 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((4 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 4) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((x + 4 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((LENGTH l = 3) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
   ((3 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
   (2 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (LENGTH l > 2 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (3 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 3 + x ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (x + 3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = 3 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((3 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 3) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((x + 3 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = 2) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
   ((2 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
   (1 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (LENGTH l > 1 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 2 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (2 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 2 + x ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (x + 2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 2 ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = 2 + x) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((2 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 2) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((x + 2 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = 1) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧ ((1 = LENGTH l) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧
   (0 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l > 0 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
   (1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l ≥ 1 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
   (1 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 1 + x ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (x + 1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 1 ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = 1 + x) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((1 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 1) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((x + 1 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = 0) ⇔ (l = [])) ∧ ((0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])) ∧
   (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
   (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_10

|- ((LENGTH l = 10) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10]) ∧
   ((10 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10]) ∧
   (9 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
   (LENGTH l > 9 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
   (10 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 10 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
   (10 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 10 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   (x + 10 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 10 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   ((LENGTH l = 10 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   ((10 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 10) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   ((x + 10 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   ((LENGTH l = 9) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9]) ∧
   ((9 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9]) ∧
   (8 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
   (LENGTH l > 8 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
   (9 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 9 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
   (9 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 9 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   (x + 9 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 9 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   ((LENGTH l = 9 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   ((9 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 9) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   ((x + 9 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   ((LENGTH l = 8) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8]) ∧
   ((8 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8]) ∧
   (7 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
   (LENGTH l > 7 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
   (8 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 8 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
   (8 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 8 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   (x + 8 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 8 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   ((LENGTH l = 8 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   ((8 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 8) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   ((x + 8 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   ((LENGTH l = 7) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7]) ∧
   ((7 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7]) ∧
   (6 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
   (LENGTH l > 6 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
   (7 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 7 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
   (7 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 7 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   (x + 7 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 7 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((LENGTH l = 7 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((7 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 7) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((x + 7 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((LENGTH l = 6) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6]) ∧
   ((6 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6]) ∧
   (5 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
   (LENGTH l > 5 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
   (6 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 6 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
   (6 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 6 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   (x + 6 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 6 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((LENGTH l = 6 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((6 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 6) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((x + 6 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((LENGTH l = 5) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
   ((5 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
   (4 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (LENGTH l > 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (5 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 5 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (5 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 5 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   (x + 5 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 5 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((LENGTH l = 5 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((5 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 5) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((x + 5 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((LENGTH l = 4) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
   ((4 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
   (3 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (LENGTH l > 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (4 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (4 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 4 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   (x + 4 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 4 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((LENGTH l = 4 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((4 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 4) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((x + 4 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((LENGTH l = 3) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
   ((3 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
   (2 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (LENGTH l > 2 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (3 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 3 + x ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (x + 3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = 3 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((3 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 3) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((x + 3 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = 2) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
   ((2 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
   (1 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (LENGTH l > 1 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 2 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (2 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 2 + x ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (x + 2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 2 ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = 2 + x) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((2 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 2) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((x + 2 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = 1) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧ ((1 = LENGTH l) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧
   (0 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l > 0 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
   (1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l ≥ 1 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
   (1 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 1 + x ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (x + 1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 1 ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = 1 + x) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((1 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 1) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((x + 1 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = 0) ⇔ (l = [])) ∧ ((0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])) ∧
   (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
   (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_15

|- ((LENGTH l = 15) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15]) ∧
   ((15 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15]) ∧
   (14 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
   (LENGTH l > 14 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
   (15 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 15 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
   (15 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 15 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   (x + 15 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 15 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   ((LENGTH l = 15 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   ((15 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 15) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   ((x + 15 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   ((LENGTH l = 14) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14]) ∧
   ((14 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14]) ∧
   (13 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
   (LENGTH l > 13 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
   (14 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 14 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
   (14 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 14 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   (x + 14 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 14 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   ((LENGTH l = 14 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   ((14 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 14) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   ((x + 14 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   ((LENGTH l = 13) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13]) ∧
   ((13 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13]) ∧
   (12 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
   (LENGTH l > 12 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
   (13 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 13 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
   (13 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 13 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   (x + 13 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 13 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   ((LENGTH l = 13 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   ((13 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 13) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   ((x + 13 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   ((LENGTH l = 12) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12]) ∧
   ((12 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12]) ∧
   (11 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
   (LENGTH l > 11 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
   (12 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 12 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
   (12 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 12 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   (x + 12 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 12 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   ((LENGTH l = 12 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   ((12 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 12) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   ((x + 12 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   ((LENGTH l = 11) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11]) ∧
   ((11 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11]) ∧
   (10 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
   (LENGTH l > 10 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
   (11 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 11 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
   (11 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 11 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   (x + 11 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 11 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   ((LENGTH l = 11 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   ((11 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 11) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   ((x + 11 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   ((LENGTH l = 10) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10]) ∧
   ((10 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10]) ∧
   (9 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
   (LENGTH l > 9 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
   (10 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 10 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
   (10 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 10 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   (x + 10 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 10 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   ((LENGTH l = 10 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   ((10 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 10) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   ((x + 10 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   ((LENGTH l = 9) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9]) ∧
   ((9 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9]) ∧
   (8 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
   (LENGTH l > 8 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
   (9 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 9 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
   (9 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 9 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   (x + 9 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 9 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   ((LENGTH l = 9 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   ((9 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 9) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   ((x + 9 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   ((LENGTH l = 8) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8]) ∧
   ((8 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8]) ∧
   (7 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
   (LENGTH l > 7 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
   (8 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 8 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
   (8 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 8 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   (x + 8 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 8 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   ((LENGTH l = 8 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   ((8 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 8) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   ((x + 8 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   ((LENGTH l = 7) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7]) ∧
   ((7 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7]) ∧
   (6 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
   (LENGTH l > 6 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
   (7 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 7 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
   (7 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 7 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   (x + 7 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 7 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((LENGTH l = 7 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((7 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 7) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((x + 7 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((LENGTH l = 6) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6]) ∧
   ((6 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6]) ∧
   (5 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
   (LENGTH l > 5 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
   (6 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 6 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
   (6 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 6 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   (x + 6 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 6 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((LENGTH l = 6 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((6 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 6) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((x + 6 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((LENGTH l = 5) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
   ((5 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
   (4 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (LENGTH l > 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (5 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 5 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (5 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 5 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   (x + 5 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 5 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((LENGTH l = 5 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((5 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 5) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((x + 5 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((LENGTH l = 4) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
   ((4 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
   (3 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (LENGTH l > 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (4 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (4 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 4 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   (x + 4 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 4 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((LENGTH l = 4 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((4 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 4) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((x + 4 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((LENGTH l = 3) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
   ((3 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
   (2 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (LENGTH l > 2 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (3 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 3 + x ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (x + 3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = 3 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((3 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 3) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((x + 3 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = 2) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
   ((2 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
   (1 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (LENGTH l > 1 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 2 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (2 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 2 + x ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (x + 2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 2 ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = 2 + x) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((2 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 2) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((x + 2 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = 1) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧ ((1 = LENGTH l) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧
   (0 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l > 0 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
   (1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l ≥ 1 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
   (1 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 1 + x ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (x + 1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 1 ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = 1 + x) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((1 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 1) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((x + 1 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = 0) ⇔ (l = [])) ∧ ((0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])) ∧
   (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
   (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_20

|- ((LENGTH l = 20) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17; e18; e19; e20]) ∧
   ((20 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17; e18; e19; e20]) ∧
   (19 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l') ∧
   (LENGTH l > 19 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l') ∧
   (20 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 20 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l') ∧
   (20 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 20 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::l')) ∧
   (x + 20 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 20 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::l')) ∧
   ((LENGTH l = 20 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::l')) ∧
   ((20 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 20) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::l')) ∧
   ((x + 20 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::l')) ∧
   ((LENGTH l = 19) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17; e18; e19]) ∧
   ((19 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17; e18; e19]) ∧
   (18 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l') ∧
   (LENGTH l > 18 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l') ∧
   (19 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 19 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l') ∧
   (19 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 19 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::l')) ∧
   (x + 19 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 19 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::l')) ∧
   ((LENGTH l = 19 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::l')) ∧
   ((19 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 19) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::l')) ∧
   ((x + 19 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::l')) ∧
   ((LENGTH l = 18) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17; e18]) ∧
   ((18 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17; e18]) ∧
   (17 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l') ∧
   (LENGTH l > 17 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l') ∧
   (18 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 18 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l') ∧
   (18 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 18 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::l')) ∧
   (x + 18 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 18 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::l')) ∧
   ((LENGTH l = 18 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::l')) ∧
   ((18 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 18) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::l')) ∧
   ((x + 18 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::l')) ∧
   ((LENGTH l = 17) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17]) ∧
   ((17 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17]) ∧
   (16 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l') ∧
   (LENGTH l > 16 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l') ∧
   (17 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 17 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l') ∧
   (17 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 17 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::l')) ∧
   (x + 17 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 17 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::l')) ∧
   ((LENGTH l = 17 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::l')) ∧
   ((17 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 17) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::l')) ∧
   ((x + 17 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::l')) ∧
   ((LENGTH l = 16) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15;
       e16]) ∧
   ((16 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15;
       e16]) ∧
   (15 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l') ∧
   (LENGTH l > 15 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l') ∧
   (16 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l') ∧
   (LENGTH l ≥ 16 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l') ∧
   (16 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 16 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           l')) ∧
   (x + 16 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 16 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           l')) ∧
   ((LENGTH l = 16 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           l')) ∧
   ((16 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 16) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           l')) ∧
   ((x + 16 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           l')) ∧
   ((LENGTH l = 15) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15]) ∧
   ((15 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15]) ∧
   (14 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
   (LENGTH l > 14 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
   (15 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 15 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
   (15 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 15 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   (x + 15 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 15 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   ((LENGTH l = 15 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   ((15 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 15) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   ((x + 15 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   ((LENGTH l = 14) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14]) ∧
   ((14 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14]) ∧
   (13 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
   (LENGTH l > 13 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
   (14 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 14 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
   (14 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 14 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   (x + 14 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 14 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   ((LENGTH l = 14 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   ((14 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 14) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   ((x + 14 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   ((LENGTH l = 13) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13]) ∧
   ((13 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13]) ∧
   (12 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
   (LENGTH l > 12 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
   (13 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 13 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
   (13 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 13 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   (x + 13 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 13 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   ((LENGTH l = 13 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   ((13 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 13) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   ((x + 13 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   ((LENGTH l = 12) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12]) ∧
   ((12 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12]) ∧
   (11 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
   (LENGTH l > 11 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
   (12 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 12 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
   (12 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 12 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   (x + 12 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 12 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   ((LENGTH l = 12 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   ((12 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 12) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   ((x + 12 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   ((LENGTH l = 11) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11]) ∧
   ((11 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11]) ∧
   (10 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
   (LENGTH l > 10 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
   (11 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 11 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
   (11 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 11 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   (x + 11 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 11 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   ((LENGTH l = 11 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   ((11 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 11) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   ((x + 11 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   ((LENGTH l = 10) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10]) ∧
   ((10 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10]) ∧
   (9 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
   (LENGTH l > 9 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
   (10 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 10 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
   (10 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 10 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   (x + 10 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 10 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   ((LENGTH l = 10 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   ((10 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 10) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   ((x + 10 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   ((LENGTH l = 9) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9]) ∧
   ((9 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9]) ∧
   (8 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
   (LENGTH l > 8 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
   (9 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 9 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
   (9 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 9 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   (x + 9 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 9 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   ((LENGTH l = 9 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   ((9 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 9) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   ((x + 9 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   ((LENGTH l = 8) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8]) ∧
   ((8 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8]) ∧
   (7 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
   (LENGTH l > 7 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
   (8 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 8 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
   (8 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 8 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   (x + 8 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 8 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   ((LENGTH l = 8 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   ((8 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 8) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   ((x + 8 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   ((LENGTH l = 7) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7]) ∧
   ((7 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7]) ∧
   (6 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
   (LENGTH l > 6 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
   (7 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 7 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
   (7 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 7 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   (x + 7 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 7 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((LENGTH l = 7 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((7 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 7) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((x + 7 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((LENGTH l = 6) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6]) ∧
   ((6 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6]) ∧
   (5 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
   (LENGTH l > 5 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
   (6 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 6 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
   (6 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 6 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   (x + 6 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 6 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((LENGTH l = 6 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((6 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 6) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((x + 6 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((LENGTH l = 5) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
   ((5 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
   (4 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (LENGTH l > 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (5 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 5 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (5 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 5 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   (x + 5 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 5 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((LENGTH l = 5 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((5 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 5) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((x + 5 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((LENGTH l = 4) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
   ((4 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
   (3 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (LENGTH l > 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (4 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (4 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 4 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   (x + 4 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 4 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((LENGTH l = 4 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((4 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 4) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((x + 4 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((LENGTH l = 3) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
   ((3 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
   (2 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (LENGTH l > 2 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (3 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 3 + x ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (x + 3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = 3 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((3 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 3) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((x + 3 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = 2) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
   ((2 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
   (1 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (LENGTH l > 1 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 2 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (2 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 2 + x ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (x + 2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 2 ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = 2 + x) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((2 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 2) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((x + 2 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = 1) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧ ((1 = LENGTH l) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧
   (0 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l > 0 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
   (1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l ≥ 1 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
   (1 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 1 + x ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (x + 1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 1 ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = 1 + x) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((1 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 1) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((x + 1 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = 0) ⇔ (l = [])) ∧ ((0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])) ∧
   (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
   (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_25

|- ((LENGTH l = 25) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17; e18; e19; e20; e21; e22; e23; e24; e25]) ∧
   ((25 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17; e18; e19; e20; e21; e22; e23; e24; e25]) ∧
   (24 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l') ∧
   (LENGTH l > 24 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l') ∧
   (25 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 25 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l') ∧
   (25 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 25 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l')) ∧
   (x + 25 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 25 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l')) ∧
   ((LENGTH l = 25 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l')) ∧
   ((25 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 25) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l')) ∧
   ((x + 25 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l')) ∧
   ((LENGTH l = 24) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17; e18; e19; e20; e21; e22; e23; e24]) ∧
   ((24 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17; e18; e19; e20; e21; e22; e23; e24]) ∧
   (23 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l') ∧
   (LENGTH l > 23 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l') ∧
   (24 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 24 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l') ∧
   (24 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 24 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l')) ∧
   (x + 24 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 24 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l')) ∧
   ((LENGTH l = 24 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l')) ∧
   ((24 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 24) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l')) ∧
   ((x + 24 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l')) ∧
   ((LENGTH l = 23) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17; e18; e19; e20; e21; e22; e23]) ∧
   ((23 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17; e18; e19; e20; e21; e22; e23]) ∧
   (22 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l') ∧
   (LENGTH l > 22 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l') ∧
   (23 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 23 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l') ∧
   (23 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 23 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l')) ∧
   (x + 23 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 23 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l')) ∧
   ((LENGTH l = 23 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l')) ∧
   ((23 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 23) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l')) ∧
   ((x + 23 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l')) ∧
   ((LENGTH l = 22) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17; e18; e19; e20; e21; e22]) ∧
   ((22 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17; e18; e19; e20; e21; e22]) ∧
   (21 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::l') ∧
   (LENGTH l > 21 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::l') ∧
   (22 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 22 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::l') ∧
   (22 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 22 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::l')) ∧
   (x + 22 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 22 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::l')) ∧
   ((LENGTH l = 22 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::l')) ∧
   ((22 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 22) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::l')) ∧
   ((x + 22 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::e22::l')) ∧
   ((LENGTH l = 21) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17; e18; e19; e20; e21]) ∧
   ((21 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17; e18; e19; e20; e21]) ∧
   (20 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::l') ∧
   (LENGTH l > 20 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::l') ∧
   (21 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 21 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::l') ∧
   (21 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 21 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::l')) ∧
   (x + 21 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 21 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::l')) ∧
   ((LENGTH l = 21 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::l')) ∧
   ((21 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 21) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::l')) ∧
   ((x + 21 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::e21::l')) ∧
   ((LENGTH l = 20) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17; e18; e19; e20]) ∧
   ((20 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17; e18; e19; e20]) ∧
   (19 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l') ∧
   (LENGTH l > 19 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l') ∧
   (20 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 20 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l') ∧
   (20 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 20 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::l')) ∧
   (x + 20 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 20 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::l')) ∧
   ((LENGTH l = 20 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::l')) ∧
   ((20 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 20) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::l')) ∧
   ((x + 20 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19
       e20.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::e20::l')) ∧
   ((LENGTH l = 19) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17; e18; e19]) ∧
   ((19 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17; e18; e19]) ∧
   (18 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l') ∧
   (LENGTH l > 18 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l') ∧
   (19 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 19 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l') ∧
   (19 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 19 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::l')) ∧
   (x + 19 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 19 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::l')) ∧
   ((LENGTH l = 19 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::l')) ∧
   ((19 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 19) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::l')) ∧
   ((x + 19 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::e19::l')) ∧
   ((LENGTH l = 18) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17; e18]) ∧
   ((18 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17; e18]) ∧
   (17 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l') ∧
   (LENGTH l > 17 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l') ∧
   (18 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 18 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l') ∧
   (18 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 18 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::l')) ∧
   (x + 18 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 18 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::l')) ∧
   ((LENGTH l = 18 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::l')) ∧
   ((18 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 18) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::l')) ∧
   ((x + 18 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::e18::l')) ∧
   ((LENGTH l = 17) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17]) ∧
   ((17 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
       e17]) ∧
   (16 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l') ∧
   (LENGTH l > 16 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l') ∧
   (17 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 17 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l') ∧
   (17 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 17 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::l')) ∧
   (x + 17 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 17 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::l')) ∧
   ((LENGTH l = 17 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::l')) ∧
   ((17 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 17) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::l')) ∧
   ((x + 17 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           e17::l')) ∧
   ((LENGTH l = 16) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15;
       e16]) ∧
   ((16 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15;
       e16]) ∧
   (15 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l') ∧
   (LENGTH l > 15 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l') ∧
   (16 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l') ∧
   (LENGTH l ≥ 16 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l') ∧
   (16 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 16 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           l')) ∧
   (x + 16 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 16 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           l')) ∧
   ((LENGTH l = 16 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           l')) ∧
   ((16 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 16) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           l')) ∧
   ((x + 16 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
           l')) ∧
   ((LENGTH l = 15) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15]) ∧
   ((15 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      l =
      [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15]) ∧
   (14 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
   (LENGTH l > 14 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
   (15 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 15 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
   (15 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 15 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   (x + 15 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 15 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   ((LENGTH l = 15 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   ((15 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 15) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   ((x + 15 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l =
       e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::
           l')) ∧
   ((LENGTH l = 14) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14]) ∧
   ((14 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14]) ∧
   (13 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
   (LENGTH l > 13 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
   (14 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 14 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
   (14 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 14 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   (x + 14 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 14 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   ((LENGTH l = 14 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   ((14 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 14) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   ((x + 14 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
   ((LENGTH l = 13) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13]) ∧
   ((13 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13]) ∧
   (12 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
   (LENGTH l > 12 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
   (13 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 13 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
   (13 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 13 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   (x + 13 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 13 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   ((LENGTH l = 13 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   ((13 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 13) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   ((x + 13 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
   ((LENGTH l = 12) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12]) ∧
   ((12 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12]) ∧
   (11 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
   (LENGTH l > 11 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
   (12 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 12 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
   (12 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 12 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   (x + 12 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 12 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   ((LENGTH l = 12 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   ((12 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 12) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   ((x + 12 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
   ((LENGTH l = 11) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11]) ∧
   ((11 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11]) ∧
   (10 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
   (LENGTH l > 10 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
   (11 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 11 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
   (11 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 11 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   (x + 11 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 11 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      x ≤ LENGTH l' ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   ((LENGTH l = 11 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   ((11 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 11) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   ((x + 11 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
      (LENGTH l' = x) ∧
      (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
   ((LENGTH l = 10) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10]) ∧
   ((10 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10]) ∧
   (9 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
   (LENGTH l > 9 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
   (10 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 10 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
   (10 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 10 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   (x + 10 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 10 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   ((LENGTH l = 10 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   ((10 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 10) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   ((x + 10 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
   ((LENGTH l = 9) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9]) ∧
   ((9 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9]) ∧
   (8 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
   (LENGTH l > 8 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
   (9 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 9 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
   (9 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 9 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   (x + 9 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 9 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   ((LENGTH l = 9 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   ((9 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 9) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   ((x + 9 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
   ((LENGTH l = 8) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8]) ∧
   ((8 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8]) ∧
   (7 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
   (LENGTH l > 7 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
   (8 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 8 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
   (8 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 8 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   (x + 8 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 8 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   ((LENGTH l = 8 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   ((8 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 8) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   ((x + 8 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
   ((LENGTH l = 7) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7]) ∧
   ((7 = LENGTH l) ⇔
    ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7]) ∧
   (6 < LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
   (LENGTH l > 6 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
   (7 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 7 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
   (7 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 7 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   (x + 7 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 7 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((LENGTH l = 7 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((7 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 7) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((x + 7 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
   ((LENGTH l = 6) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6]) ∧
   ((6 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6]) ∧
   (5 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
   (LENGTH l > 5 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
   (6 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 6 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
   (6 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 6 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   (x + 6 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 6 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((LENGTH l = 6 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((6 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 6) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((x + 6 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6.
      (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
   ((LENGTH l = 5) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
   ((5 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
   (4 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (LENGTH l > 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (5 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 5 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
   (5 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 5 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   (x + 5 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 5 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((LENGTH l = 5 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((5 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 5) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((x + 5 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
   ((LENGTH l = 4) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
   ((4 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
   (3 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (LENGTH l > 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (4 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
   (4 + x ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 4 + x ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   (x + 4 ≤ LENGTH l ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 4 ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((LENGTH l = 4 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((4 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 4) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((x + 4 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
   ((LENGTH l = 3) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
   ((3 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
   (2 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (LENGTH l > 2 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
   (3 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 3 + x ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (x + 3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = 3 + x) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((3 + x = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 3) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((x + 3 = LENGTH l) ⇔
    ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
   ((LENGTH l = 2) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
   ((2 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
   (1 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (LENGTH l > 1 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (LENGTH l ≥ 2 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
   (2 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 2 + x ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (x + 2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 2 ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = 2 + x) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((2 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 2) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((x + 2 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
   ((LENGTH l = 1) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧ ((1 = LENGTH l) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧
   (0 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l > 0 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
   (1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l ≥ 1 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
   (1 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ 1 + x ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (x + 1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ x + 1 ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = 1 + x) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((1 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = x + 1) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((x + 1 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = 0) ⇔ (l = [])) ∧ ((0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])) ∧
   (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
   (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_COMPARE_SUC

|- (SUC x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   (LENGTH l ≥ SUC x ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((LENGTH l = SUC x) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
   ((SUC x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l'))