Theory "quantHeuristics"

Signature

Definitions

GUESS_EXISTS_GAP_def

⊢ ∀i P. GUESS_EXISTS_GAP i P ⇔ ∀v. P v ⇒ ∃fv. v = i fv

GUESS_EXISTS_POINT_def

⊢ ∀i P. GUESS_EXISTS_POINT i P ⇔ ∀fv. P (i fv)

GUESS_EXISTS_def

⊢ ∀i P. GUESS_EXISTS i P ⇔ ((∃v. P v) ⇔ ∃fv. P (i fv))

GUESS_FORALL_GAP_def

⊢ ∀i P. GUESS_FORALL_GAP i P ⇔ ∀v. ¬P v ⇒ ∃fv. v = i fv

GUESS_FORALL_POINT_def

⊢ ∀i P. GUESS_FORALL_POINT i P ⇔ ∀fv. ¬P (i fv)

GUESS_FORALL_def

⊢ ∀i P. GUESS_FORALL i P ⇔ ((∀v. P v) ⇔ ∀fv. P (i fv))

IS_REMOVABLE_QUANT_FUN_def

⊢ ∀f. IS_REMOVABLE_QUANT_FUN f ⇔ ∀v. ∃x. f x = v

SIMPLE_GUESS_EXISTS_def

⊢ ∀v i P. SIMPLE_GUESS_EXISTS v i P ⇔ P ⇒ (v = i)

SIMPLE_GUESS_FORALL_def

⊢ ∀v i P. SIMPLE_GUESS_FORALL v i P ⇔ ¬P ⇒ (v = i)

Theorems

CONJ_NOT_OR_THM

⊢ ∀A B. A ∧ B ⇔ ¬(¬A ∨ ¬B)

DISJ_IMP_INTRO

⊢ (∀x. P x ∨ Q x) ⇒ (¬P y ⇒ Q y) ∧ (¬Q y ⇒ P y)

EXISTS_NOT_FORALL_THM

⊢ ∀P. (∃x. P x) ⇔ ¬∀x. ¬P x

FST_PAIR_EQ

⊢ ∀p p2. ((FST p,p2) = p) ⇔ (p2 = SND p)

FST_PAIR_EQ_SYM

⊢ ∀p p2. (p = (FST p,p2)) ⇔ (SND p = p2)

GUESSES_NEG_DUALITY

⊢ (GUESS_EXISTS i ($¬ ∘ P) ⇔ GUESS_FORALL i P) ∧
  (GUESS_FORALL i ($¬ ∘ P) ⇔ GUESS_EXISTS i P) ∧
  (GUESS_EXISTS_GAP i ($¬ ∘ P) ⇔ GUESS_FORALL_GAP i P) ∧
  (GUESS_FORALL_GAP i ($¬ ∘ P) ⇔ GUESS_EXISTS_GAP i P) ∧
  (GUESS_EXISTS_POINT i ($¬ ∘ P) ⇔ GUESS_FORALL_POINT i P) ∧
  (GUESS_FORALL_POINT i ($¬ ∘ P) ⇔ GUESS_EXISTS_POINT i P)

GUESSES_NEG_REWRITE

⊢ (GUESS_EXISTS i (λx. ¬P x) ⇔ GUESS_FORALL i (λx. P x)) ∧
  (GUESS_FORALL i (λx. ¬P x) ⇔ GUESS_EXISTS i (λx. P x)) ∧
  (GUESS_EXISTS_GAP i (λx. ¬P x) ⇔ GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x)) ∧
  (GUESS_FORALL_GAP i (λx. ¬P x) ⇔ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x)) ∧
  (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. ¬P x) ⇔ GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x)) ∧
  (GUESS_FORALL_POINT i (λx. ¬P x) ⇔ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x))

GUESSES_UEXISTS_THM1

⊢ ∀i P. GUESS_EXISTS (λx. i) P ⇒ ($?! P ⇔ P i ∧ ∀v. P v ⇒ (v = i))

GUESSES_UEXISTS_THM2

⊢ ∀i P. GUESS_EXISTS_GAP (λx. i) P ⇒ ($?! P ⇔ P i)

GUESSES_UEXISTS_THM3

⊢ ∀i P. GUESS_EXISTS_POINT (λx. i) P ⇒ ($?! P ⇔ ∀v. P v ⇒ (v = i))

GUESSES_UEXISTS_THM4

⊢ ∀i P.
    GUESS_EXISTS_POINT (λx. i) P ⇒ GUESS_EXISTS_GAP (λx. i) P ⇒ ($?! P ⇔ T)

GUESSES_WEAKEN_THM

⊢ (GUESS_FORALL_GAP i P ⇒ GUESS_FORALL i P) ∧
  (GUESS_FORALL_POINT i P ⇒ GUESS_FORALL i P) ∧
  (GUESS_EXISTS_POINT i P ⇒ GUESS_EXISTS i P) ∧
  (GUESS_EXISTS_GAP i P ⇒ GUESS_EXISTS i P)

GUESS_EXISTS_FORALL_REWRITES

⊢ (GUESS_EXISTS i P ⇔ ∀v. P v ⇒ ∃fv. P (i fv)) ∧
  (GUESS_FORALL i P ⇔ ∀v. ¬P v ⇒ ∃fv. ¬P (i fv))

GUESS_EXISTS_POINT_THM

⊢ ∀i P. GUESS_EXISTS_POINT i P ⇒ ($? P ⇔ T)

GUESS_EXISTS_THM

⊢ ∀i P. GUESS_EXISTS i P ⇒ ($? P ⇔ ∃fv. P (i fv))

GUESS_FORALL_POINT_THM

⊢ ∀i P. GUESS_FORALL_POINT i P ⇒ ($! P ⇔ F)

GUESS_FORALL_THM

⊢ ∀i P. GUESS_FORALL i P ⇒ ($! P ⇔ ∀fv. P (i fv))

GUESS_POINT_THM

⊢ (GUESS_EXISTS_POINT i P ⇒ ((∃v. P v) ⇔ T)) ∧
  (GUESS_FORALL_POINT i P ⇒ ((∀v. P v) ⇔ F))

GUESS_REWRITES

⊢ ((GUESS_EXISTS i P ⇔ ∀v. P v ⇒ ∃fv. P (i fv)) ∧
   (GUESS_FORALL i P ⇔ ∀v. ¬P v ⇒ ∃fv. ¬P (i fv))) ∧
  (∀i P. GUESS_EXISTS_POINT i P ⇔ ∀fv. P (i fv)) ∧
  (∀i P. GUESS_FORALL_POINT i P ⇔ ∀fv. ¬P (i fv)) ∧
  (∀i P. GUESS_EXISTS_GAP i P ⇔ ∀v. P v ⇒ ∃fv. v = i fv) ∧
  ∀i P. GUESS_FORALL_GAP i P ⇔ ∀v. ¬P v ⇒ ∃fv. v = i fv

GUESS_RULES_BOOL

⊢ GUESS_EXISTS_POINT (λARB. T) (λx. x) ∧
  GUESS_FORALL_POINT (λARB. F) (λx. x) ∧ GUESS_EXISTS_GAP (λARB. T) (λx. x) ∧
  GUESS_FORALL_GAP (λARB. F) (λx. x)

GUESS_RULES_COND

⊢ (GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x) ∧ GUESS_FORALL_POINT i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_FORALL_POINT i (λx. if b x then P x else Q x)) ∧
  (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x) ∧ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_EXISTS_POINT i (λx. if b x then P x else Q x)) ∧
  (GUESS_EXISTS i (λx. P x) ∧ GUESS_EXISTS i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_EXISTS i (λx. if bc then P x else Q x)) ∧
  (GUESS_FORALL i (λx. P x) ∧ GUESS_FORALL i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_FORALL i (λx. if bc then P x else Q x)) ∧
  (GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x) ∧ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_EXISTS_GAP i (λx. if b x then P x else Q x)) ∧
  (GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x) ∧ GUESS_FORALL_GAP i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_FORALL_GAP i (λx. if b x then P x else Q x)) ∧
  (GUESS_FORALL_POINT i (λx. b x) ∧ GUESS_FORALL_POINT i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_FORALL_POINT i (λx. if b x then P x else Q x)) ∧
  (GUESS_FORALL_POINT i (λx. b x) ∧ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_EXISTS_POINT i (λx. if b x then P x else Q x)) ∧
  (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. b x) ∧ GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x) ⇒
   GUESS_FORALL_POINT i (λx. if b x then P x else Q x)) ∧
  (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. b x) ∧ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x) ⇒
   GUESS_EXISTS_POINT i (λx. if b x then P x else Q x)) ∧
  (GUESS_FORALL_GAP i (λx. b x) ∧ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x) ⇒
   GUESS_EXISTS_GAP i (λx. if b x then P x else Q x)) ∧
  (GUESS_EXISTS_GAP i (λx. b x) ∧ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_EXISTS_GAP i (λx. if b x then P x else Q x)) ∧
  (GUESS_EXISTS_GAP i (λx. b x) ∧ GUESS_FORALL_GAP i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_FORALL_GAP i (λx. if b x then P x else Q x)) ∧
  (GUESS_FORALL_GAP i (λx. b x) ∧ GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x) ⇒
   GUESS_FORALL_GAP i (λx. if b x then P x else Q x))

GUESS_RULES_CONJ

⊢ (GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x) ⇒ GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x ∧ Q x)) ∧
  (GUESS_FORALL_POINT i (λx. Q x) ⇒ GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x ∧ Q x)) ∧
  (GUESS_FORALL i (λx. P x) ∧ GUESS_FORALL i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_FORALL i (λx. P x ∧ Q x)) ∧
  (GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x) ∧ GUESS_FORALL_GAP i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x ∧ Q x)) ∧
  (GUESS_EXISTS (λxxx. iK) (λx. P x) ∧ GUESS_EXISTS (λxxx. iK) (λx. Q x) ⇒
   GUESS_EXISTS (λxxx. iK) (λx. P x ∧ Q x)) ∧
  (GUESS_EXISTS i (λx. P x) ⇒ GUESS_EXISTS i (λx. P x ∧ q)) ∧
  (GUESS_EXISTS i (λx. Q x) ⇒ GUESS_EXISTS i (λx. p ∧ Q x)) ∧
  (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x) ∧ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x ∧ Q x)) ∧
  (GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x) ⇒ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x ∧ Q x)) ∧
  (GUESS_EXISTS_GAP i (λx. Q x) ⇒ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x ∧ Q x))

GUESS_RULES_CONSTANT_EXISTS

⊢ GUESS_EXISTS i (λx. p) ⇔ T

GUESS_RULES_CONSTANT_FORALL

⊢ GUESS_FORALL i (λx. p) ⇔ T

GUESS_RULES_DISJ

⊢ (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x) ⇒ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x ∨ Q x)) ∧
  (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. Q x) ⇒ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x ∨ Q x)) ∧
  (GUESS_EXISTS i (λx. P x) ∧ GUESS_EXISTS i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_EXISTS i (λx. P x ∨ Q x)) ∧
  (GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x) ∧ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x ∨ Q x)) ∧
  (GUESS_FORALL (λxxx. iK) (λx. P x) ∧ GUESS_FORALL (λxxx. iK) (λx. Q x) ⇒
   GUESS_FORALL (λxxx. iK) (λx. P x ∨ Q x)) ∧
  (GUESS_FORALL i (λx. P x) ⇒ GUESS_FORALL i (λx. P x ∨ q)) ∧
  (GUESS_FORALL i (λx. Q x) ⇒ GUESS_FORALL i (λx. p ∨ Q x)) ∧
  (GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x) ∧ GUESS_FORALL_POINT i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x ∨ Q x)) ∧
  (GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x) ⇒ GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x ∨ Q x)) ∧
  (GUESS_FORALL_GAP i (λx. Q x) ⇒ GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x ∨ Q x))

GUESS_RULES_ELIM_UNIT

⊢ (GUESS_FORALL_POINT i vt ⇔ GUESS_FORALL_POINT (λx. i (x,())) vt) ∧
  (GUESS_EXISTS_POINT i vt ⇔ GUESS_EXISTS_POINT (λx. i (x,())) vt) ∧
  (GUESS_EXISTS i vt ⇔ GUESS_EXISTS (λx. i (x,())) vt) ∧
  (GUESS_FORALL i vt ⇔ GUESS_FORALL (λx. i (x,())) vt) ∧
  (GUESS_EXISTS_GAP i vt ⇔ GUESS_EXISTS_GAP (λx. i (x,())) vt) ∧
  (GUESS_FORALL_GAP i vt ⇔ GUESS_FORALL_GAP (λx. i (x,())) vt)

GUESS_RULES_EQUATION_EXISTS_GAP

⊢ ∀i. GUESS_EXISTS_GAP (λxxx. i) (λx. x = i)

GUESS_RULES_EQUATION_EXISTS_POINT

⊢ ∀i P Q. (P i = Q i) ⇒ GUESS_EXISTS_POINT (λxxx. i) (λx. P x = Q x)

GUESS_RULES_EQUATION_FORALL_POINT

⊢ ∀i P Q. (∀fv. P (i fv) ≠ Q (i fv)) ⇒ GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x = Q x)

GUESS_RULES_EQUIV

⊢ (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x) ∧ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x ⇔ Q x)) ∧
  (GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x) ∧ GUESS_FORALL_POINT i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x ⇔ Q x)) ∧
  (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x) ∧ GUESS_FORALL_POINT i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x ⇔ Q x)) ∧
  (GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x) ∧ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x ⇔ Q x)) ∧
  (GUESS_FORALL_GAP i (λx. P1 x) ∧ GUESS_FORALL_GAP i (λx. P2 x) ⇒
   GUESS_FORALL_GAP i (λx. P1 x ⇔ P2 x)) ∧
  (GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P1 x) ∧ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P2 x) ⇒
   GUESS_FORALL_GAP i (λx. P1 x ⇔ P2 x)) ∧
  (GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P1 x) ∧ GUESS_FORALL_GAP i (λx. P2 x) ⇒
   GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P1 x ⇔ P2 x)) ∧
  (GUESS_FORALL_GAP i (λx. P1 x) ∧ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P2 x) ⇒
   GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P1 x ⇔ P2 x))

GUESS_RULES_EXISTS

⊢ ((∀y. GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x y)) ⇒
   GUESS_EXISTS_POINT i (λx. ∃y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_EXISTS i (λx. P x y)) ⇒ GUESS_EXISTS i (λx. ∃y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x y)) ⇒ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. ∃y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x y)) ⇒
   GUESS_FORALL_POINT i (λx. ∃y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_FORALL (λxxx. iK) (λx. P x y)) ⇒
   GUESS_FORALL (λxxx. iK) (λx. ∃y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x y)) ⇒ GUESS_FORALL_GAP i (λx. ∃y. P x y))

GUESS_RULES_EXISTS_UNIQUE

⊢ ((∀y. GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x y)) ⇒
   GUESS_FORALL_POINT i (λx. ∃!y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x y)) ⇒ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. ∃!y. P x y))

GUESS_RULES_EXISTS___NEW_FV

⊢ ((∀y. GUESS_EXISTS_POINT (iy y) (λx. P x y)) ⇒
   GUESS_EXISTS_POINT (λfv. iy (FST fv) (SND fv)) (λx. ∃y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_EXISTS (iy y) (λx. P x y)) ⇒
   GUESS_EXISTS (λfv. iy (FST fv) (SND fv)) (λx. ∃y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_EXISTS_GAP (iy y) (λx. P x y)) ⇒
   GUESS_EXISTS_GAP (λfv. iy (FST fv) (SND fv)) (λx. ∃y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_FORALL_GAP (iy y) (λx. P x y)) ⇒
   GUESS_FORALL_GAP (λfv. iy (FST fv) (SND fv)) (λx. ∃y. P x y))

GUESS_RULES_EXISTS___NEW_FV_1

⊢ ((∀y. GUESS_EXISTS_POINT (λxxx. i y) (λx. P x y)) ⇒
   GUESS_EXISTS_POINT i (λx. ∃y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_EXISTS (λxxx. i y) (λx. P x y)) ⇒ GUESS_EXISTS i (λx. ∃y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_EXISTS_GAP (λxxx. i y) (λx. P x y)) ⇒
   GUESS_EXISTS_GAP i (λx. ∃y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_FORALL_GAP (λxxx. i y) (λx. P x y)) ⇒
   GUESS_FORALL_GAP i (λx. ∃y. P x y))

GUESS_RULES_FORALL

⊢ ((∀y. GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x y)) ⇒
   GUESS_FORALL_POINT i (λx. ∀y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_FORALL i (λx. P x y)) ⇒ GUESS_FORALL i (λx. ∀y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x y)) ⇒ GUESS_FORALL_GAP i (λx. ∀y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x y)) ⇒
   GUESS_EXISTS_POINT i (λx. ∀y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_EXISTS (λxxx. iK) (λx. P x y)) ⇒
   GUESS_EXISTS (λxxx. iK) (λx. ∀y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x y)) ⇒ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. ∀y. P x y))

GUESS_RULES_FORALL___NEW_FV

⊢ ((∀y. GUESS_FORALL_POINT (iy y) (λx. P x y)) ⇒
   GUESS_FORALL_POINT (λfv. iy (FST fv) (SND fv)) (λx. ∀y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_FORALL (iy y) (λx. P x y)) ⇒
   GUESS_FORALL (λfv. iy (FST fv) (SND fv)) (λx. ∀y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_FORALL_GAP (iy y) (λx. P x y)) ⇒
   GUESS_FORALL_GAP (λfv. iy (FST fv) (SND fv)) (λx. ∀y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_EXISTS_GAP (iy y) (λx. P x y)) ⇒
   GUESS_EXISTS_GAP (λfv. iy (FST fv) (SND fv)) (λx. ∀y. P x y))

GUESS_RULES_FORALL___NEW_FV_1

⊢ ((∀y. GUESS_FORALL_POINT (λxxx. i y) (λx. P x y)) ⇒
   GUESS_FORALL_POINT i (λx. ∀y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_FORALL (λxxx. i y) (λx. P x y)) ⇒ GUESS_FORALL i (λx. ∀y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_FORALL_GAP (λxxx. i y) (λx. P x y)) ⇒
   GUESS_FORALL_GAP i (λx. ∀y. P x y)) ∧
  ((∀y. GUESS_EXISTS_GAP (λxxx. i y) (λx. P x y)) ⇒
   GUESS_EXISTS_GAP i (λx. ∀y. P x y))

GUESS_RULES_IMP

⊢ (GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x) ⇒ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x ⇒ Q x)) ∧
  (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. Q x) ⇒ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x ⇒ Q x)) ∧
  (GUESS_FORALL i (λx. P x) ∧ GUESS_EXISTS i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_EXISTS i (λx. P x ⇒ Q x)) ∧
  (GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x) ∧ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x ⇒ Q x)) ∧
  (GUESS_EXISTS (λxxx. iK) (λx. P x) ∧ GUESS_FORALL (λxxx. iK) (λx. Q x) ⇒
   GUESS_FORALL (λxxx. iK) (λx. P x ⇒ Q x)) ∧
  (GUESS_EXISTS i (λx. P x) ⇒ GUESS_FORALL i (λx. P x ⇒ q)) ∧
  (GUESS_FORALL i (λx. Q x) ⇒ GUESS_FORALL i (λx. p ⇒ Q x)) ∧
  (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x) ∧ GUESS_FORALL_POINT i (λx. Q x) ⇒
   GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x ⇒ Q x)) ∧
  (GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x) ⇒ GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x ⇒ Q x)) ∧
  (GUESS_FORALL_GAP i (λx. Q x) ⇒ GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x ⇒ Q x))

GUESS_RULES_NEG

⊢ (GUESS_EXISTS i (λx. P x) ⇒ GUESS_FORALL i (λx. ¬P x)) ∧
  (GUESS_EXISTS_GAP i (λx. P x) ⇒ GUESS_FORALL_GAP i (λx. ¬P x)) ∧
  (GUESS_EXISTS_POINT i (λx. P x) ⇒ GUESS_FORALL_POINT i (λx. ¬P x)) ∧
  (GUESS_FORALL i (λx. P x) ⇒ GUESS_EXISTS i (λx. ¬P x)) ∧
  (GUESS_FORALL_GAP i (λx. P x) ⇒ GUESS_EXISTS_GAP i (λx. ¬P x)) ∧
  (GUESS_FORALL_POINT i (λx. P x) ⇒ GUESS_EXISTS_POINT i (λx. ¬P x))

GUESS_RULES_ONE_CASE___EXISTS_GAP

⊢ ∀P Q. (∀x. ∃fv. x = Q fv) ⇒ GUESS_EXISTS_GAP Q P

GUESS_RULES_ONE_CASE___FORALL_GAP

⊢ ∀P Q. (∀x. ∃fv. x = Q fv) ⇒ GUESS_FORALL_GAP Q P

GUESS_RULES_STRENGTHEN_EXISTS_POINT

⊢ ∀P Q. (∀x. P x ⇒ Q x) ⇒ GUESS_EXISTS_POINT i P ⇒ GUESS_EXISTS_POINT i Q

GUESS_RULES_STRENGTHEN_FORALL_GAP

⊢ ∀P Q. (∀x. P x ⇒ Q x) ⇒ GUESS_FORALL_GAP i P ⇒ GUESS_FORALL_GAP i Q

GUESS_RULES_TRIVIAL_EXISTS_POINT

⊢ ∀i P. P i ⇒ GUESS_EXISTS_POINT (λxxx. i) P

GUESS_RULES_TRIVIAL_FORALL_POINT

⊢ ∀i P. ¬P i ⇒ GUESS_FORALL_POINT (λxxx. i) P

GUESS_RULES_TWO_CASES

⊢ ∀y Q. (∀x. (x = y) ∨ ∃fv. x = Q fv) ⇒ GUESS_FORALL_GAP Q (λx. x = y)

GUESS_RULES_WEAKEN_EXISTS_GAP

⊢ ∀P Q. (∀x. Q x ⇒ P x) ⇒ GUESS_EXISTS_GAP i P ⇒ GUESS_EXISTS_GAP i Q

GUESS_RULES_WEAKEN_FORALL_POINT

⊢ ∀P Q. (∀x. Q x ⇒ P x) ⇒ GUESS_FORALL_POINT i P ⇒ GUESS_FORALL_POINT i Q

HD_TL_EQ_THMS

⊢ (∀l. (HD l::TL l = l) ⇔ l ≠ []) ∧
  (∀l. (HD l::HD (TL l)::TL (TL l) = l) ⇔ LENGTH l > 1) ∧
  (∀l. (HD l::HD (TL l)::HD (TL (TL l))::TL (TL (TL l)) = l) ⇔ LENGTH l > 2) ∧
  (∀l. (HD l::HD (TL l)::HD (TL (TL l))::HD (TL (TL (TL l)))::
            TL (TL (TL (TL l))) = l) ⇔ LENGTH l > 3) ∧
  (∀l. (HD l::HD (TL l)::HD (TL (TL l))::HD (TL (TL (TL l)))::
            HD (TL (TL (TL (TL l))))::TL (TL (TL (TL (TL l)))) = l) ⇔
       LENGTH l > 4) ∧
  (∀l. (HD l::HD (TL l)::HD (TL (TL l))::HD (TL (TL (TL l)))::
            HD (TL (TL (TL (TL l))))::HD (TL (TL (TL (TL (TL l)))))::
            TL (TL (TL (TL (TL (TL l))))) = l) ⇔ LENGTH l > 5) ∧
  (∀l. (HD l::HD (TL l)::HD (TL (TL l))::HD (TL (TL (TL l)))::
            HD (TL (TL (TL (TL l))))::HD (TL (TL (TL (TL (TL l)))))::
            HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL l))))))::
            TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL l)))))) = l) ⇔ LENGTH l > 6) ∧
  (∀l. (HD l::HD (TL l)::HD (TL (TL l))::HD (TL (TL (TL l)))::
            HD (TL (TL (TL (TL l))))::HD (TL (TL (TL (TL (TL l)))))::
            HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL l))))))::
            HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL l)))))))::
            TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL l))))))) = l) ⇔ LENGTH l > 7) ∧
  (∀l. (HD l::HD (TL l)::HD (TL (TL l))::HD (TL (TL (TL l)))::
            HD (TL (TL (TL (TL l))))::HD (TL (TL (TL (TL (TL l)))))::
            HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL l))))))::
            HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL l)))))))::
            HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL l))))))))::
            TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL l)))))))) = l) ⇔ LENGTH l > 8) ∧
  (∀l. ([HD l] = l) ⇔ (LENGTH l = 1)) ∧
  (∀l. ([HD l; HD (TL l)] = l) ⇔ (LENGTH l = 2)) ∧
  (∀l. ([HD l; HD (TL l); HD (TL (TL l))] = l) ⇔ (LENGTH l = 3)) ∧
  (∀l. ([HD l; HD (TL l); HD (TL (TL l)); HD (TL (TL (TL l)))] = l) ⇔
       (LENGTH l = 4)) ∧
  (∀l. ([HD l; HD (TL l); HD (TL (TL l)); HD (TL (TL (TL l)));
         HD (TL (TL (TL (TL l))))] = l) ⇔ (LENGTH l = 5)) ∧
  (∀l. ([HD l; HD (TL l); HD (TL (TL l)); HD (TL (TL (TL l)));
         HD (TL (TL (TL (TL l)))); HD (TL (TL (TL (TL (TL l)))))] = l) ⇔
       (LENGTH l = 6)) ∧
  (∀l. ([HD l; HD (TL l); HD (TL (TL l)); HD (TL (TL (TL l)));
         HD (TL (TL (TL (TL l)))); HD (TL (TL (TL (TL (TL l)))));
         HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL l))))))] = l) ⇔ (LENGTH l = 7)) ∧
  (∀l. ([HD l; HD (TL l); HD (TL (TL l)); HD (TL (TL (TL l)));
         HD (TL (TL (TL (TL l)))); HD (TL (TL (TL (TL (TL l)))));
         HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL l))))));
         HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL l)))))))] = l) ⇔ (LENGTH l = 8)) ∧
  (∀l. ([HD l; HD (TL l); HD (TL (TL l)); HD (TL (TL (TL l)));
         HD (TL (TL (TL (TL l)))); HD (TL (TL (TL (TL (TL l)))));
         HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL l))))));
         HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL l)))))));
         HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL l))))))))] = l) ⇔ (LENGTH l = 9)) ∧
  (∀l. (l = HD l::TL l) ⇔ l ≠ []) ∧
  (∀l. (l = HD l::HD (TL l)::TL (TL l)) ⇔ LENGTH l > 1) ∧
  (∀l. (l = HD l::HD (TL l)::HD (TL (TL l))::TL (TL (TL l))) ⇔ LENGTH l > 2) ∧
  (∀l. (l =
        HD l::HD (TL l)::HD (TL (TL l))::HD (TL (TL (TL l)))::
            TL (TL (TL (TL l)))) ⇔ LENGTH l > 3) ∧
  (∀l. (l =
        HD l::HD (TL l)::HD (TL (TL l))::HD (TL (TL (TL l)))::
            HD (TL (TL (TL (TL l))))::TL (TL (TL (TL (TL l))))) ⇔ LENGTH l > 4) ∧
  (∀l. (l =
        HD l::HD (TL l)::HD (TL (TL l))::HD (TL (TL (TL l)))::
            HD (TL (TL (TL (TL l))))::HD (TL (TL (TL (TL (TL l)))))::
            TL (TL (TL (TL (TL (TL l)))))) ⇔ LENGTH l > 5) ∧
  (∀l. (l =
        HD l::HD (TL l)::HD (TL (TL l))::HD (TL (TL (TL l)))::
            HD (TL (TL (TL (TL l))))::HD (TL (TL (TL (TL (TL l)))))::
            HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL l))))))::
            TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL l))))))) ⇔ LENGTH l > 6) ∧
  (∀l. (l =
        HD l::HD (TL l)::HD (TL (TL l))::HD (TL (TL (TL l)))::
            HD (TL (TL (TL (TL l))))::HD (TL (TL (TL (TL (TL l)))))::
            HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL l))))))::
            HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL l)))))))::
            TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL l)))))))) ⇔ LENGTH l > 7) ∧
  (∀l. (l =
        HD l::HD (TL l)::HD (TL (TL l))::HD (TL (TL (TL l)))::
            HD (TL (TL (TL (TL l))))::HD (TL (TL (TL (TL (TL l)))))::
            HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL l))))))::
            HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL l)))))))::
            HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL l))))))))::
            TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL l))))))))) ⇔ LENGTH l > 8) ∧
  (∀l. (l = [HD l]) ⇔ (LENGTH l = 1)) ∧
  (∀l. (l = [HD l; HD (TL l)]) ⇔ (LENGTH l = 2)) ∧
  (∀l. (l = [HD l; HD (TL l); HD (TL (TL l))]) ⇔ (LENGTH l = 3)) ∧
  (∀l. (l = [HD l; HD (TL l); HD (TL (TL l)); HD (TL (TL (TL l)))]) ⇔
       (LENGTH l = 4)) ∧
  (∀l. (l =
        [HD l; HD (TL l); HD (TL (TL l)); HD (TL (TL (TL l)));
         HD (TL (TL (TL (TL l))))]) ⇔ (LENGTH l = 5)) ∧
  (∀l. (l =
        [HD l; HD (TL l); HD (TL (TL l)); HD (TL (TL (TL l)));
         HD (TL (TL (TL (TL l)))); HD (TL (TL (TL (TL (TL l)))))]) ⇔
       (LENGTH l = 6)) ∧
  (∀l. (l =
        [HD l; HD (TL l); HD (TL (TL l)); HD (TL (TL (TL l)));
         HD (TL (TL (TL (TL l)))); HD (TL (TL (TL (TL (TL l)))));
         HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL l))))))]) ⇔ (LENGTH l = 7)) ∧
  (∀l. (l =
        [HD l; HD (TL l); HD (TL (TL l)); HD (TL (TL (TL l)));
         HD (TL (TL (TL (TL l)))); HD (TL (TL (TL (TL (TL l)))));
         HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL l))))));
         HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL l)))))))]) ⇔ (LENGTH l = 8)) ∧
  ∀l. (l =
       [HD l; HD (TL l); HD (TL (TL l)); HD (TL (TL (TL l)));
        HD (TL (TL (TL (TL l)))); HD (TL (TL (TL (TL (TL l)))));
        HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL l))))));
        HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL l)))))));
        HD (TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL (TL l))))))))]) ⇔ (LENGTH l = 9)

IMP_NEG_CONTRA

⊢ ∀P i x. ¬P i ⇒ P x ⇒ x ≠ i

INL_NEQ_ELIM

⊢ ((∀l. x ≠ INL l) ⇔ ISR x) ∧ ((∀l. INL l ≠ x) ⇔ ISR x)

INR_NEQ_ELIM

⊢ ((∀r. x ≠ INR r) ⇔ ISL x) ∧ ((∀r. INR r ≠ x) ⇔ ISL x)

ISL_exists

⊢ ISL x ⇔ ∃l. x = INL l

ISR_exists

⊢ ISR x ⇔ ∃r. x = INR r

IS_REMOVABLE_QUANT_FUN___EXISTS_THM

⊢ ∀f P. IS_REMOVABLE_QUANT_FUN f ⇒ ((∃x. P (f x)) ⇔ ∃x'. P x')

IS_REMOVABLE_QUANT_FUN___FORALL_THM

⊢ ∀f P. IS_REMOVABLE_QUANT_FUN f ⇒ ((∀x. P (f x)) ⇔ ∀x'. P x')

IS_SOME_EQ_NOT_NONE

⊢ ∀x. IS_SOME x ⇔ x ≠ NONE

LEFT_IMP_AND_INTRO

⊢ ∀x t1 t2. (t1 ⇒ t2) ⇒ x ∧ t1 ⇒ x ∧ t2

LEFT_IMP_OR_INTRO

⊢ ∀x t1 t2. (t1 ⇒ t2) ⇒ x ∨ t1 ⇒ x ∨ t2

LENGTH_LE_NUM

⊢ n ≤ LENGTH l ⇔ ∃l1 l2. (LENGTH l1 = n) ∧ (l = l1 ++ l2)

LENGTH_LE_PLUS

⊢ n + m ≤ LENGTH l ⇔ ∃l1 l2. (LENGTH l1 = n) ∧ m ≤ LENGTH l2 ∧ (l = l1 ++ l2)

LENGTH_NIL_SYM

⊢ (0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])

LIST_LENGTH_0

⊢ ((LENGTH l = 0) ⇔ (l = [])) ∧ ((0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])) ∧
  (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
  (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_1

⊢ ((LENGTH l = 1) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧ ((1 = LENGTH l) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧
  (0 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l > 0 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
  (1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l ≥ 1 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
  (1 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 1 + x ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (x + 1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 1 ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = 1 + x) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((1 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 1) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((x + 1 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = 0) ⇔ (l = [])) ∧ ((0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])) ∧
  (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
  (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_10

⊢ ((LENGTH l = 10) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10]) ∧
  ((10 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10]) ∧
  (9 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
  (LENGTH l > 9 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
  (10 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 10 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
  (10 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 10 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  (x + 10 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 10 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  ((LENGTH l = 10 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  ((10 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 10) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  ((x + 10 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  ((LENGTH l = 9) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9]) ∧
  ((9 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9]) ∧
  (8 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
  (LENGTH l > 8 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
  (9 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 9 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
  (9 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 9 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  (x + 9 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 9 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  ((LENGTH l = 9 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  ((9 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 9) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  ((x + 9 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  ((LENGTH l = 8) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8]) ∧
  ((8 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8]) ∧
  (7 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
  (LENGTH l > 7 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
  (8 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 8 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
  (8 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 8 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  (x + 8 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 8 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  ((LENGTH l = 8 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  ((8 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 8) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  ((x + 8 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  ((LENGTH l = 7) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7]) ∧
  ((7 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7]) ∧
  (6 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
  (LENGTH l > 6 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
  (7 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 7 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
  (7 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 7 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  (x + 7 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 7 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((LENGTH l = 7 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((7 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 7) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((x + 7 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((LENGTH l = 6) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6]) ∧
  ((6 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6]) ∧
  (5 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
  (LENGTH l > 5 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
  (6 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 6 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
  (6 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 6 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  (x + 6 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 6 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((LENGTH l = 6 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((6 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 6) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((x + 6 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((LENGTH l = 5) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
  ((5 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
  (4 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (LENGTH l > 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (5 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 5 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (5 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 5 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  (x + 5 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 5 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((LENGTH l = 5 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((5 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 5) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((x + 5 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((LENGTH l = 4) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
  ((4 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
  (3 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (LENGTH l > 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (4 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (4 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 4 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  (x + 4 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 4 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((LENGTH l = 4 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((4 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 4) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((x + 4 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((LENGTH l = 3) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
  ((3 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
  (2 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (LENGTH l > 2 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (3 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 3 + x ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (x + 3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = 3 + x) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((3 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 3) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((x + 3 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = 2) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
  ((2 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
  (1 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (LENGTH l > 1 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 2 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (2 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 2 + x ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (x + 2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 2 ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = 2 + x) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((2 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 2) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((x + 2 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = 1) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧ ((1 = LENGTH l) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧
  (0 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l > 0 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
  (1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l ≥ 1 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
  (1 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 1 + x ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (x + 1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 1 ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = 1 + x) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((1 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 1) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((x + 1 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = 0) ⇔ (l = [])) ∧ ((0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])) ∧
  (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
  (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_15

⊢ ((LENGTH l = 15) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15]) ∧
  ((15 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15]) ∧
  (14 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
  (LENGTH l > 14 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
  (15 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 15 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
  (15 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 15 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  (x + 15 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 15 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  ((LENGTH l = 15 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  ((15 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 15) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  ((x + 15 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  ((LENGTH l = 14) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14]) ∧
  ((14 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14]) ∧
  (13 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
  (LENGTH l > 13 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
  (14 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 14 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
  (14 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 14 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  (x + 14 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 14 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  ((LENGTH l = 14 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  ((14 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 14) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  ((x + 14 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  ((LENGTH l = 13) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13]) ∧
  ((13 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13]) ∧
  (12 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
  (LENGTH l > 12 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
  (13 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 13 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
  (13 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 13 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  (x + 13 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 13 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  ((LENGTH l = 13 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  ((13 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 13) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  ((x + 13 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  ((LENGTH l = 12) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12]) ∧
  ((12 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12]) ∧
  (11 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
  (LENGTH l > 11 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
  (12 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 12 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
  (12 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 12 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  (x + 12 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 12 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  ((LENGTH l = 12 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  ((12 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 12) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  ((x + 12 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  ((LENGTH l = 11) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11]) ∧
  ((11 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11]) ∧
  (10 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
  (LENGTH l > 10 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
  (11 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 11 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
  (11 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 11 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  (x + 11 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 11 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  ((LENGTH l = 11 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  ((11 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 11) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  ((x + 11 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  ((LENGTH l = 10) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10]) ∧
  ((10 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10]) ∧
  (9 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
  (LENGTH l > 9 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
  (10 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 10 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
  (10 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 10 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  (x + 10 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 10 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  ((LENGTH l = 10 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  ((10 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 10) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  ((x + 10 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  ((LENGTH l = 9) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9]) ∧
  ((9 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9]) ∧
  (8 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
  (LENGTH l > 8 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
  (9 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 9 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
  (9 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 9 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  (x + 9 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 9 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  ((LENGTH l = 9 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  ((9 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 9) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  ((x + 9 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  ((LENGTH l = 8) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8]) ∧
  ((8 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8]) ∧
  (7 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
  (LENGTH l > 7 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
  (8 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 8 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
  (8 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 8 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  (x + 8 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 8 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  ((LENGTH l = 8 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  ((8 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 8) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  ((x + 8 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  ((LENGTH l = 7) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7]) ∧
  ((7 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7]) ∧
  (6 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
  (LENGTH l > 6 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
  (7 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 7 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
  (7 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 7 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  (x + 7 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 7 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((LENGTH l = 7 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((7 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 7) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((x + 7 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((LENGTH l = 6) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6]) ∧
  ((6 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6]) ∧
  (5 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
  (LENGTH l > 5 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
  (6 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 6 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
  (6 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 6 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  (x + 6 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 6 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((LENGTH l = 6 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((6 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 6) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((x + 6 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((LENGTH l = 5) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
  ((5 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
  (4 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (LENGTH l > 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (5 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 5 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (5 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 5 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  (x + 5 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 5 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((LENGTH l = 5 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((5 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 5) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((x + 5 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((LENGTH l = 4) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
  ((4 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
  (3 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (LENGTH l > 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (4 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (4 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 4 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  (x + 4 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 4 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((LENGTH l = 4 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((4 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 4) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((x + 4 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((LENGTH l = 3) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
  ((3 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
  (2 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (LENGTH l > 2 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (3 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 3 + x ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (x + 3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = 3 + x) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((3 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 3) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((x + 3 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = 2) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
  ((2 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
  (1 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (LENGTH l > 1 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 2 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (2 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 2 + x ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (x + 2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 2 ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = 2 + x) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((2 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 2) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((x + 2 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = 1) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧ ((1 = LENGTH l) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧
  (0 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l > 0 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
  (1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l ≥ 1 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
  (1 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 1 + x ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (x + 1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 1 ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = 1 + x) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((1 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 1) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((x + 1 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = 0) ⇔ (l = [])) ∧ ((0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])) ∧
  (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
  (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_2

⊢ ((LENGTH l = 2) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
  ((2 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
  (1 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (LENGTH l > 1 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 2 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (2 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 2 + x ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (x + 2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 2 ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = 2 + x) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((2 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 2) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((x + 2 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = 1) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧ ((1 = LENGTH l) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧
  (0 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l > 0 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
  (1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l ≥ 1 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
  (1 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 1 + x ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (x + 1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 1 ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = 1 + x) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((1 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 1) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((x + 1 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = 0) ⇔ (l = [])) ∧ ((0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])) ∧
  (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
  (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_20

⊢ ((LENGTH l = 20) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17; e18; e19; e20]) ∧
  ((20 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17; e18; e19; e20]) ∧
  (19 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::l') ∧
  (LENGTH l > 19 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::l') ∧
  (20 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 20 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::l') ∧
  (20 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 20 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l')) ∧
  (x + 20 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 20 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l')) ∧
  ((LENGTH l = 20 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l')) ∧
  ((20 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 20) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l')) ∧
  ((x + 20 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l')) ∧
  ((LENGTH l = 19) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17; e18; e19]) ∧
  ((19 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17; e18; e19]) ∧
  (18 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::l') ∧
  (LENGTH l > 18 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::l') ∧
  (19 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 19 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::l') ∧
  (19 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 19 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l')) ∧
  (x + 19 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 19 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l')) ∧
  ((LENGTH l = 19 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l')) ∧
  ((19 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 19) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l')) ∧
  ((x + 19 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l')) ∧
  ((LENGTH l = 18) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17; e18]) ∧
  ((18 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17; e18]) ∧
  (17 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::l') ∧
  (LENGTH l > 17 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::l') ∧
  (18 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 18 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::l') ∧
  (18 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 18 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l')) ∧
  (x + 18 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 18 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l')) ∧
  ((LENGTH l = 18 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l')) ∧
  ((18 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 18) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l')) ∧
  ((x + 18 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l')) ∧
  ((LENGTH l = 17) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17]) ∧
  ((17 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17]) ∧
  (16 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::l') ∧
  (LENGTH l > 16 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::l') ∧
  (17 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 17 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::l') ∧
  (17 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 17 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l')) ∧
  (x + 17 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 17 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l')) ∧
  ((LENGTH l = 17 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l')) ∧
  ((17 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 17) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l')) ∧
  ((x + 17 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l')) ∧
  ((LENGTH l = 16) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16]) ∧
  ((16 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16]) ∧
  (15 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::l') ∧
  (LENGTH l > 15 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::l') ∧
  (16 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 16 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::l') ∧
  (16 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 16 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l')) ∧
  (x + 16 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 16 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l')) ∧
  ((LENGTH l = 16 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l')) ∧
  ((16 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 16) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l')) ∧
  ((x + 16 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l')) ∧
  ((LENGTH l = 15) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15]) ∧
  ((15 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15]) ∧
  (14 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
  (LENGTH l > 14 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
  (15 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 15 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
  (15 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 15 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  (x + 15 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 15 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  ((LENGTH l = 15 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  ((15 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 15) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  ((x + 15 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  ((LENGTH l = 14) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14]) ∧
  ((14 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14]) ∧
  (13 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
  (LENGTH l > 13 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
  (14 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 14 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
  (14 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 14 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  (x + 14 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 14 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  ((LENGTH l = 14 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  ((14 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 14) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  ((x + 14 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  ((LENGTH l = 13) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13]) ∧
  ((13 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13]) ∧
  (12 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
  (LENGTH l > 12 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
  (13 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 13 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
  (13 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 13 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  (x + 13 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 13 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  ((LENGTH l = 13 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  ((13 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 13) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  ((x + 13 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  ((LENGTH l = 12) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12]) ∧
  ((12 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12]) ∧
  (11 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
  (LENGTH l > 11 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
  (12 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 12 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
  (12 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 12 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  (x + 12 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 12 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  ((LENGTH l = 12 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  ((12 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 12) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  ((x + 12 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  ((LENGTH l = 11) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11]) ∧
  ((11 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11]) ∧
  (10 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
  (LENGTH l > 10 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
  (11 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 11 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
  (11 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 11 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  (x + 11 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 11 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  ((LENGTH l = 11 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  ((11 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 11) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  ((x + 11 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  ((LENGTH l = 10) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10]) ∧
  ((10 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10]) ∧
  (9 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
  (LENGTH l > 9 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
  (10 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 10 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
  (10 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 10 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  (x + 10 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 10 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  ((LENGTH l = 10 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  ((10 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 10) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  ((x + 10 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  ((LENGTH l = 9) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9]) ∧
  ((9 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9]) ∧
  (8 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
  (LENGTH l > 8 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
  (9 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 9 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
  (9 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 9 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  (x + 9 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 9 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  ((LENGTH l = 9 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  ((9 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 9) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  ((x + 9 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  ((LENGTH l = 8) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8]) ∧
  ((8 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8]) ∧
  (7 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
  (LENGTH l > 7 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
  (8 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 8 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
  (8 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 8 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  (x + 8 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 8 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  ((LENGTH l = 8 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  ((8 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 8) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  ((x + 8 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  ((LENGTH l = 7) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7]) ∧
  ((7 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7]) ∧
  (6 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
  (LENGTH l > 6 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
  (7 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 7 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
  (7 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 7 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  (x + 7 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 7 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((LENGTH l = 7 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((7 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 7) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((x + 7 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((LENGTH l = 6) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6]) ∧
  ((6 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6]) ∧
  (5 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
  (LENGTH l > 5 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
  (6 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 6 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
  (6 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 6 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  (x + 6 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 6 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((LENGTH l = 6 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((6 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 6) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((x + 6 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((LENGTH l = 5) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
  ((5 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
  (4 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (LENGTH l > 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (5 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 5 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (5 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 5 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  (x + 5 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 5 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((LENGTH l = 5 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((5 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 5) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((x + 5 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((LENGTH l = 4) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
  ((4 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
  (3 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (LENGTH l > 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (4 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (4 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 4 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  (x + 4 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 4 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((LENGTH l = 4 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((4 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 4) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((x + 4 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((LENGTH l = 3) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
  ((3 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
  (2 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (LENGTH l > 2 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (3 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 3 + x ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (x + 3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = 3 + x) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((3 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 3) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((x + 3 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = 2) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
  ((2 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
  (1 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (LENGTH l > 1 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 2 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (2 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 2 + x ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (x + 2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 2 ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = 2 + x) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((2 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 2) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((x + 2 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = 1) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧ ((1 = LENGTH l) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧
  (0 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l > 0 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
  (1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l ≥ 1 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
  (1 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 1 + x ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (x + 1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 1 ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = 1 + x) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((1 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 1) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((x + 1 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = 0) ⇔ (l = [])) ∧ ((0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])) ∧
  (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
  (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_25

⊢ ((LENGTH l = 25) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20 e21
       e22 e23 e24 e25.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17; e18; e19; e20; e21; e22; e23; e24; e25]) ∧
  ((25 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20 e21
       e22 e23 e24 e25.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17; e18; e19; e20; e21; e22; e23; e24; e25]) ∧
  (24 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l') ∧
  (LENGTH l > 24 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l') ∧
  (25 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 25 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l') ∧
  (25 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 25 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l')) ∧
  (x + 25 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 25 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l')) ∧
  ((LENGTH l = 25 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l')) ∧
  ((25 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 25) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l')) ∧
  ((x + 25 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24 e25.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::e25::l')) ∧
  ((LENGTH l = 24) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20 e21
       e22 e23 e24.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17; e18; e19; e20; e21; e22; e23; e24]) ∧
  ((24 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20 e21
       e22 e23 e24.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17; e18; e19; e20; e21; e22; e23; e24]) ∧
  (23 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l') ∧
  (LENGTH l > 23 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l') ∧
  (24 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 24 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l') ∧
  (24 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 24 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l')) ∧
  (x + 24 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 24 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l')) ∧
  ((LENGTH l = 24 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l')) ∧
  ((24 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 24) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l')) ∧
  ((x + 24 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23 e24.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::e24::l')) ∧
  ((LENGTH l = 23) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20 e21
       e22 e23.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17; e18; e19; e20; e21; e22; e23]) ∧
  ((23 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20 e21
       e22 e23.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17; e18; e19; e20; e21; e22; e23]) ∧
  (22 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l') ∧
  (LENGTH l > 22 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l') ∧
  (23 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 23 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l') ∧
  (23 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 23 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l')) ∧
  (x + 23 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 23 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l')) ∧
  ((LENGTH l = 23 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l')) ∧
  ((23 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 23) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l')) ∧
  ((x + 23 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22 e23.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::e23::l')) ∧
  ((LENGTH l = 22) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20 e21
       e22.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17; e18; e19; e20; e21; e22]) ∧
  ((22 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20 e21
       e22.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17; e18; e19; e20; e21; e22]) ∧
  (21 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::e21::e22::l') ∧
  (LENGTH l > 21 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::e21::e22::l') ∧
  (22 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::e21::e22::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 22 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::e21::e22::l') ∧
  (22 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 22 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::l')) ∧
  (x + 22 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 22 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::l')) ∧
  ((LENGTH l = 22 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::l')) ∧
  ((22 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 22) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::l')) ∧
  ((x + 22 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21 e22.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::e22::l')) ∧
  ((LENGTH l = 21) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17; e18; e19; e20; e21]) ∧
  ((21 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17; e18; e19; e20; e21]) ∧
  (20 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::e21::l') ∧
  (LENGTH l > 20 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::e21::l') ∧
  (21 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::e21::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 21 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::e21::l') ∧
  (21 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 21 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::l')) ∧
  (x + 21 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 21 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::l')) ∧
  ((LENGTH l = 21 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::l')) ∧
  ((21 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 21) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::l')) ∧
  ((x + 21 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20
       e21.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::e21::l')) ∧
  ((LENGTH l = 20) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17; e18; e19; e20]) ∧
  ((20 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17; e18; e19; e20]) ∧
  (19 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::l') ∧
  (LENGTH l > 19 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::l') ∧
  (20 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 20 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::e20::l') ∧
  (20 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 20 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l')) ∧
  (x + 20 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 20 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l')) ∧
  ((LENGTH l = 20 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l')) ∧
  ((20 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 20) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l')) ∧
  ((x + 20 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19 e20.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::e20::l')) ∧
  ((LENGTH l = 19) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17; e18; e19]) ∧
  ((19 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17; e18; e19]) ∧
  (18 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::l') ∧
  (LENGTH l > 18 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::l') ∧
  (19 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 19 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::e19::l') ∧
  (19 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 19 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l')) ∧
  (x + 19 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 19 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l')) ∧
  ((LENGTH l = 19 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l')) ∧
  ((19 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 19) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l')) ∧
  ((x + 19 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18 e19.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::e19::l')) ∧
  ((LENGTH l = 18) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17; e18]) ∧
  ((18 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17; e18]) ∧
  (17 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::l') ∧
  (LENGTH l > 17 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::l') ∧
  (18 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 18 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::e18::l') ∧
  (18 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 18 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l')) ∧
  (x + 18 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 18 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l')) ∧
  ((LENGTH l = 18 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l')) ∧
  ((18 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 18) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l')) ∧
  ((x + 18 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17 e18.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::e18::l')) ∧
  ((LENGTH l = 17) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17]) ∧
  ((17 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16;
      e17]) ∧
  (16 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::l') ∧
  (LENGTH l > 16 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::l') ∧
  (17 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 17 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
         e17::l') ∧
  (17 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 17 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l')) ∧
  (x + 17 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 17 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l')) ∧
  ((LENGTH l = 17 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l')) ∧
  ((17 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 17) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l')) ∧
  ((x + 17 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16 e17.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          e17::l')) ∧
  ((LENGTH l = 16) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16]) ∧
  ((16 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     l =
     [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15; e16]) ∧
  (15 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::l') ∧
  (LENGTH l > 15 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::l') ∧
  (16 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 16 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     l =
     e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::l') ∧
  (16 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 16 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l')) ∧
  (x + 16 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 16 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l')) ∧
  ((LENGTH l = 16 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l')) ∧
  ((16 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 16) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l')) ∧
  ((x + 16 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e16.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l =
      e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::e16::
          l')) ∧
  ((LENGTH l = 15) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15]) ∧
  ((15 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14; e15]) ∧
  (14 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
  (LENGTH l > 14 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
  (15 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 15 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l') ∧
  (15 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 15 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  (x + 15 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 15 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  ((LENGTH l = 15 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  ((15 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 15) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  ((x + 15 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::e15::l')) ∧
  ((LENGTH l = 14) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14]) ∧
  ((14 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13; e14]) ∧
  (13 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
  (LENGTH l > 13 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
  (14 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 14 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l') ∧
  (14 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 14 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  (x + 14 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 14 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  ((LENGTH l = 14 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  ((14 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 14) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  ((x + 14 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::e14::l')) ∧
  ((LENGTH l = 13) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13]) ∧
  ((13 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12; e13]) ∧
  (12 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
  (LENGTH l > 12 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
  (13 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 13 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l') ∧
  (13 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 13 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  (x + 13 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 13 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  ((LENGTH l = 13 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  ((13 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 13) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  ((x + 13 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::e13::l')) ∧
  ((LENGTH l = 12) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12]) ∧
  ((12 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11; e12]) ∧
  (11 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
  (LENGTH l > 11 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
  (12 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 12 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l') ∧
  (12 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 12 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  (x + 12 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 12 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     x ≤ LENGTH l' ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  ((LENGTH l = 12 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  ((12 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 12) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  ((x + 12 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12.
     (LENGTH l' = x) ∧
     (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::e12::l')) ∧
  ((LENGTH l = 11) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11]) ∧
  ((11 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10; e11]) ∧
  (10 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
  (LENGTH l > 10 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
  (11 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 11 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l') ∧
  (11 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 11 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  (x + 11 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 11 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  ((LENGTH l = 11 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  ((11 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 11) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  ((x + 11 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::e11::l')) ∧
  ((LENGTH l = 10) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10]) ∧
  ((10 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9; e10]) ∧
  (9 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
  (LENGTH l > 9 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
  (10 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 10 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l') ∧
  (10 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 10 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  (x + 10 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 10 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  ((LENGTH l = 10 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  ((10 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 10) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  ((x + 10 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::e10::l')) ∧
  ((LENGTH l = 9) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9]) ∧
  ((9 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8; e9]) ∧
  (8 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
  (LENGTH l > 8 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
  (9 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 9 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l') ∧
  (9 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 9 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  (x + 9 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 9 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  ((LENGTH l = 9 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  ((9 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 9) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  ((x + 9 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::e9::l')) ∧
  ((LENGTH l = 8) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8]) ∧
  ((8 = LENGTH l) ⇔
   ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7; e8]) ∧
  (7 < LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
  (LENGTH l > 7 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
  (8 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 8 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l') ∧
  (8 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 8 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  (x + 8 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 8 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  ((LENGTH l = 8 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  ((8 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 8) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  ((x + 8 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::e8::l')) ∧
  ((LENGTH l = 7) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7]) ∧
  ((7 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7]) ∧
  (6 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
  (LENGTH l > 6 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
  (7 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 7 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
  (7 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 7 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  (x + 7 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 7 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((LENGTH l = 7 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((7 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 7) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((x + 7 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((LENGTH l = 6) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6]) ∧
  ((6 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6]) ∧
  (5 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
  (LENGTH l > 5 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
  (6 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 6 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
  (6 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 6 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  (x + 6 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 6 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((LENGTH l = 6 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((6 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 6) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((x + 6 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((LENGTH l = 5) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
  ((5 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
  (4 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (LENGTH l > 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (5 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 5 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (5 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 5 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  (x + 5 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 5 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((LENGTH l = 5 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((5 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 5) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((x + 5 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((LENGTH l = 4) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
  ((4 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
  (3 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (LENGTH l > 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (4 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (4 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 4 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  (x + 4 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 4 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((LENGTH l = 4 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((4 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 4) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((x + 4 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((LENGTH l = 3) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
  ((3 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
  (2 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (LENGTH l > 2 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (3 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 3 + x ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (x + 3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = 3 + x) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((3 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 3) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((x + 3 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = 2) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
  ((2 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
  (1 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (LENGTH l > 1 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 2 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (2 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 2 + x ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (x + 2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 2 ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = 2 + x) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((2 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 2) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((x + 2 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = 1) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧ ((1 = LENGTH l) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧
  (0 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l > 0 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
  (1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l ≥ 1 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
  (1 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 1 + x ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (x + 1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 1 ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = 1 + x) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((1 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 1) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((x + 1 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = 0) ⇔ (l = [])) ∧ ((0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])) ∧
  (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
  (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_3

⊢ ((LENGTH l = 3) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
  ((3 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
  (2 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (LENGTH l > 2 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (3 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 3 + x ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (x + 3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = 3 + x) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((3 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 3) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((x + 3 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = 2) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
  ((2 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
  (1 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (LENGTH l > 1 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 2 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (2 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 2 + x ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (x + 2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 2 ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = 2 + x) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((2 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 2) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((x + 2 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = 1) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧ ((1 = LENGTH l) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧
  (0 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l > 0 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
  (1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l ≥ 1 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
  (1 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 1 + x ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (x + 1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 1 ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = 1 + x) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((1 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 1) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((x + 1 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = 0) ⇔ (l = [])) ∧ ((0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])) ∧
  (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
  (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_4

⊢ ((LENGTH l = 4) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
  ((4 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
  (3 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (LENGTH l > 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (4 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (4 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 4 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  (x + 4 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 4 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((LENGTH l = 4 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((4 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 4) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((x + 4 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((LENGTH l = 3) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
  ((3 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
  (2 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (LENGTH l > 2 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (3 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 3 + x ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (x + 3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = 3 + x) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((3 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 3) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((x + 3 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = 2) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
  ((2 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
  (1 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (LENGTH l > 1 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 2 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (2 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 2 + x ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (x + 2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 2 ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = 2 + x) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((2 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 2) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((x + 2 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = 1) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧ ((1 = LENGTH l) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧
  (0 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l > 0 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
  (1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l ≥ 1 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
  (1 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 1 + x ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (x + 1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 1 ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = 1 + x) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((1 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 1) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((x + 1 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = 0) ⇔ (l = [])) ∧ ((0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])) ∧
  (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
  (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_5

⊢ ((LENGTH l = 5) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
  ((5 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
  (4 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (LENGTH l > 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (5 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 5 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (5 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 5 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  (x + 5 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 5 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((LENGTH l = 5 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((5 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 5) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((x + 5 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((LENGTH l = 4) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
  ((4 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
  (3 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (LENGTH l > 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (4 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (4 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 4 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  (x + 4 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 4 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((LENGTH l = 4 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((4 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 4) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((x + 4 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((LENGTH l = 3) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
  ((3 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
  (2 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (LENGTH l > 2 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (3 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 3 + x ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (x + 3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = 3 + x) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((3 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 3) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((x + 3 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = 2) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
  ((2 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
  (1 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (LENGTH l > 1 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 2 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (2 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 2 + x ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (x + 2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 2 ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = 2 + x) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((2 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 2) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((x + 2 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = 1) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧ ((1 = LENGTH l) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧
  (0 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l > 0 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
  (1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l ≥ 1 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
  (1 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 1 + x ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (x + 1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 1 ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = 1 + x) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((1 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 1) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((x + 1 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = 0) ⇔ (l = [])) ∧ ((0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])) ∧
  (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
  (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_7

⊢ ((LENGTH l = 7) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7]) ∧
  ((7 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7]) ∧
  (6 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
  (LENGTH l > 6 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
  (7 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 7 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l') ∧
  (7 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 7 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  (x + 7 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 7 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((LENGTH l = 7 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((7 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 7) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((x + 7 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7.
     (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::e7::l')) ∧
  ((LENGTH l = 6) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6]) ∧
  ((6 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = [e1; e2; e3; e4; e5; e6]) ∧
  (5 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
  (LENGTH l > 5 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
  (6 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 6 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l') ∧
  (6 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 6 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  (x + 6 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 6 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((LENGTH l = 6 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((6 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 6) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((x + 6 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5 e6. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::e6::l')) ∧
  ((LENGTH l = 5) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
  ((5 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4 e5. l = [e1; e2; e3; e4; e5]) ∧
  (4 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (LENGTH l > 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (5 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 5 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. l = e1::e2::e3::e4::e5::l') ∧
  (5 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 5 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  (x + 5 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 5 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((LENGTH l = 5 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((5 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 5) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((x + 5 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4 e5. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::e5::l')) ∧
  ((LENGTH l = 4) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
  ((4 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3 e4. l = [e1; e2; e3; e4]) ∧
  (3 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (LENGTH l > 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (4 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 4 ⇔ ∃l' e1 e2 e3 e4. l = e1::e2::e3::e4::l') ∧
  (4 + x ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 4 + x ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  (x + 4 ≤ LENGTH l ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 4 ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((LENGTH l = 4 + x) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((4 + x = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 4) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((x + 4 = LENGTH l) ⇔
   ∃l' e1 e2 e3 e4. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::e4::l')) ∧
  ((LENGTH l = 3) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
  ((3 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2 e3. l = [e1; e2; e3]) ∧
  (2 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (LENGTH l > 2 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. l = e1::e2::e3::l') ∧
  (3 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 3 + x ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (x + 3 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 3 ⇔ ∃l' e1 e2 e3. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = 3 + x) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((3 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 3) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((x + 3 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2 e3. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::e3::l')) ∧
  ((LENGTH l = 2) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
  ((2 = LENGTH l) ⇔ ∃e1 e2. l = [e1; e2]) ∧
  (1 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (LENGTH l > 1 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (LENGTH l ≥ 2 ⇔ ∃l' e1 e2. l = e1::e2::l') ∧
  (2 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 2 + x ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (x + 2 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 2 ⇔ ∃l' e1 e2. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = 2 + x) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((2 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 2) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((x + 2 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1 e2. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::e2::l')) ∧
  ((LENGTH l = 1) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧ ((1 = LENGTH l) ⇔ ∃e1. l = [e1]) ∧
  (0 < LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l > 0 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
  (1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧ (LENGTH l ≥ 1 ⇔ ∃l' e1. l = e1::l') ∧
  (1 + x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ 1 + x ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (x + 1 ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ x + 1 ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = 1 + x) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((1 + x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = x + 1) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((x + 1 = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = 0) ⇔ (l = [])) ∧ ((0 = LENGTH l) ⇔ (l = [])) ∧
  (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
  (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_COMPARE_1

⊢ (LENGTH l < 1 ⇔ (l = [])) ∧ (1 > LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧
  (0 ≥ LENGTH l ⇔ (l = [])) ∧ (LENGTH l ≤ 0 ⇔ (l = []))

LIST_LENGTH_COMPARE_SUC

⊢ (SUC x ≤ LENGTH l ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  (LENGTH l ≥ SUC x ⇔ ∃l' e1. x ≤ LENGTH l' ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((LENGTH l = SUC x) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l')) ∧
  ((SUC x = LENGTH l) ⇔ ∃l' e1. (LENGTH l' = x) ∧ (l = e1::l'))

MOVE_EXISTS_IMP_THM

⊢ (∃x. (∀y. ¬P x y ⇒ R y) ⇒ Q x) ⇔ (∀y. ¬(∀x. P x y) ⇒ R y) ⇒ ∃x. Q x

PAIR_EQ_EXPAND

⊢ (((x,y) = X) ⇔ (x = FST X) ∧ (y = SND X)) ∧
  ((X = (x,y)) ⇔ (FST X = x) ∧ (SND X = y))

PAIR_EQ_SIMPLE_EXPAND

⊢ (((x,y) = (x,y')) ⇔ (y = y')) ∧ (((y,x) = (y',x)) ⇔ (y = y')) ∧
  (((FST X,y) = X) ⇔ (y = SND X)) ∧ (((x,SND X) = X) ⇔ (x = FST X)) ∧
  ((X = (FST X,y)) ⇔ (SND X = y)) ∧ ((X = (x,SND X)) ⇔ (FST X = x))

RIGHT_IMP_AND_INTRO

⊢ ∀x t1 t2. (t1 ⇒ t2) ⇒ t1 ∧ x ⇒ t2 ∧ x

RIGHT_IMP_OR_INTRO

⊢ ∀x t1 t2. (t1 ⇒ t2) ⇒ t1 ∨ x ⇒ t2 ∨ x

SIMPLE_GUESS_EXISTS_ALT_DEF

⊢ (∀v. SIMPLE_GUESS_EXISTS v i (P v)) ⇔ GUESS_EXISTS_GAP (K i) (λv. P v)

SIMPLE_GUESS_EXISTS_AND_1

⊢ ∀v i P1 P2. SIMPLE_GUESS_EXISTS v i P1 ⇒ SIMPLE_GUESS_EXISTS v i (P1 ∧ P2)

SIMPLE_GUESS_EXISTS_AND_2

⊢ ∀v i P1 P2. SIMPLE_GUESS_EXISTS v i P2 ⇒ SIMPLE_GUESS_EXISTS v i (P1 ∧ P2)

SIMPLE_GUESS_EXISTS_EQ_1

⊢ ∀v i. SIMPLE_GUESS_EXISTS v i (v = i)

SIMPLE_GUESS_EXISTS_EQ_2

⊢ ∀v i. SIMPLE_GUESS_EXISTS v i (i = v)

SIMPLE_GUESS_EXISTS_EQ_FUN

⊢ ∀v i t1 t2 f.
    SIMPLE_GUESS_EXISTS v i (f t1 = f t2) ⇒ SIMPLE_GUESS_EXISTS v i (t1 = t2)

SIMPLE_GUESS_EXISTS_EQ_T

⊢ ∀v. SIMPLE_GUESS_EXISTS v T v

SIMPLE_GUESS_EXISTS_EXISTS

⊢ ∀v i P.
    (∀v2. SIMPLE_GUESS_EXISTS v i (P v2)) ⇒
    SIMPLE_GUESS_EXISTS v i (∃v2. P v2)

SIMPLE_GUESS_EXISTS_FORALL

⊢ ∀v i P.
    (∀v2. SIMPLE_GUESS_EXISTS v i (P v2)) ⇒
    SIMPLE_GUESS_EXISTS v i (∀v2. P v2)

SIMPLE_GUESS_EXISTS_NEG

⊢ ∀v i P. SIMPLE_GUESS_FORALL v i P ⇒ SIMPLE_GUESS_EXISTS v i (¬P)

SIMPLE_GUESS_EXISTS_THM

⊢ ∀i P. (∀v. SIMPLE_GUESS_EXISTS v i (P v)) ⇒ ((∃v. P v) ⇔ P i)

SIMPLE_GUESS_FORALL_ALT_DEF

⊢ (∀v. SIMPLE_GUESS_FORALL v i (P v)) ⇔ GUESS_FORALL_GAP (K i) (λv. P v)

SIMPLE_GUESS_FORALL_EXISTS

⊢ ∀v i P.
    (∀v2. SIMPLE_GUESS_FORALL v i (P v2)) ⇒
    SIMPLE_GUESS_FORALL v i (∃v2. P v2)

SIMPLE_GUESS_FORALL_FORALL

⊢ ∀v i P.
    (∀v2. SIMPLE_GUESS_FORALL v i (P v2)) ⇒
    SIMPLE_GUESS_FORALL v i (∀v2. P v2)

SIMPLE_GUESS_FORALL_IMP_1

⊢ ∀v i P1 P2. SIMPLE_GUESS_EXISTS v i P1 ⇒ SIMPLE_GUESS_FORALL v i (P1 ⇒ P2)

SIMPLE_GUESS_FORALL_IMP_2

⊢ ∀v i P1 P2. SIMPLE_GUESS_FORALL v i P2 ⇒ SIMPLE_GUESS_FORALL v i (P1 ⇒ P2)

SIMPLE_GUESS_FORALL_NEG

⊢ ∀v i P. SIMPLE_GUESS_EXISTS v i P ⇒ SIMPLE_GUESS_FORALL v i (¬P)

SIMPLE_GUESS_FORALL_OR_1

⊢ ∀v i P1 P2. SIMPLE_GUESS_FORALL v i P1 ⇒ SIMPLE_GUESS_FORALL v i (P1 ∨ P2)

SIMPLE_GUESS_FORALL_OR_2

⊢ ∀v i P1 P2. SIMPLE_GUESS_FORALL v i P2 ⇒ SIMPLE_GUESS_FORALL v i (P1 ∨ P2)

SIMPLE_GUESS_FORALL_THM

⊢ ∀i P. (∀v. SIMPLE_GUESS_FORALL v i (P v)) ⇒ ((∀v. P v) ⇔ P i)

SIMPLE_GUESS_SELECT_THM

⊢ ∀i P.
    (∀v. SIMPLE_GUESS_EXISTS v i (P v)) ⇒
    ((@v. P v) = if P i then i else @v. F)

SIMPLE_GUESS_SOME_THM

⊢ ∀i P.
    (∀v. SIMPLE_GUESS_EXISTS v i (P v)) ⇒
    ((some v. P v) = if P i then SOME i else NONE)

SIMPLE_GUESS_UEXISTS_THM

⊢ ∀i P. (∀v. SIMPLE_GUESS_EXISTS v i (P v)) ⇒ ((∃!v. P v) ⇔ P i)

SND_PAIR_EQ

⊢ ∀p p1. ((p1,SND p) = p) ⇔ (p1 = FST p)

SND_PAIR_EQ_SYM

⊢ ∀p p1. (p = (p1,SND p)) ⇔ (FST p = p1)

SOME_THE_EQ

⊢ ∀opt. (SOME (THE opt) = opt) ⇔ IS_SOME opt

SOME_THE_EQ_SYM

⊢ ∀opt. (opt = SOME (THE opt)) ⇔ IS_SOME opt

UNWIND_EXISTS_THM

⊢ ∀a P. (∃x. P x) ⇔ (∀x. x ≠ a ⇒ ¬P x) ⇒ P a