Theory "extreal"

Signature

Definitions

mono_decreasing_def

|- ∀f. mono_decreasing f ⇔ ∀m n. m ≤ n ⇒ f n ≤ f m

mono_increasing_def

|- ∀f. mono_increasing f ⇔ ∀m n. m ≤ n ⇒ f m ≤ f n

extreal_sqrt_def

|- (∀x. sqrt (Normal x) = Normal (sqrt x)) ∧ (sqrt PosInf = PosInf)

extreal_pow_def

|- (∀a n. Normal a pow n = Normal (a pow n)) ∧
   (∀n. PosInf pow n = if n = 0 then Normal 1 else PosInf) ∧
   ∀n.
     NegInf pow n =
     if n = 0 then Normal 1 else if EVEN n then PosInf else NegInf

extreal_exp_def

|- (∀x. exp (Normal x) = Normal (exp x)) ∧ (exp PosInf = PosInf) ∧
   (exp NegInf = Normal 0)

extreal_lg_def

|- ∀x. lg x = logr 2 x

extreal_logr_def

|- (∀b x. logr b (Normal x) = Normal (logr b x)) ∧
   (∀b. logr b PosInf = PosInf) ∧ ∀b. logr b NegInf = NegInf

extreal_abs_primitive_def

|- abs =
   WFREC (@R. WF R)
     (λextreal_abs a.
        case a of Normal x => I (Normal (abs x)) | _ => I PosInf)

extreal_div_def

|- ∀x y. x / y = x * inv y

extreal_ainv_def

|- (-NegInf = PosInf) ∧ (-PosInf = NegInf) ∧ ∀x. -Normal x = Normal (-x)

extreal_inv_def

|- (inv NegInf = Normal 0) ∧ (inv PosInf = Normal 0) ∧
   ∀x. inv (Normal x) = Normal (inv x)

extreal_mul_curried_def

|- ∀x x1. x * x1 = extreal_mul_tupled (x,x1)

extreal_mul_tupled_primitive_def

|- extreal_mul_tupled =
   WFREC (@R. WF R)
     (λextreal_mul_tupled a.
        case a of
          (NegInf,NegInf) => I PosInf
        | (NegInf,PosInf) => I NegInf
        | (NegInf,Normal y) =>
            I (if y = 0 then Normal 0 else if 0 < y then NegInf else PosInf)
        | (PosInf,NegInf) => I NegInf
        | (PosInf,PosInf) => I PosInf
        | (PosInf,Normal y') =>
            I (if y' = 0 then Normal 0 else if 0 < y' then PosInf else NegInf)
        | (Normal x,NegInf) =>
            I (if x = 0 then Normal 0 else if 0 < x then NegInf else PosInf)
        | (Normal x,PosInf) =>
            I (if x = 0 then Normal 0 else if 0 < x then PosInf else NegInf)
        | (Normal x,Normal y'') => I (Normal (x * y'')))

extreal_lt_def

|- ∀x y. x < y ⇔ ¬(y ≤ x)

extreal_le_curried_def

|- ∀x x1. x ≤ x1 ⇔ extreal_le_tupled (x,x1)

extreal_le_tupled_primitive_def

|- extreal_le_tupled =
   WFREC (@R. WF R)
     (λextreal_le_tupled a'.
        case a' of
          (NegInf,a) => I T
        | (PosInf,NegInf) => I F
        | (PosInf,PosInf) => I T
        | (PosInf,Normal v6) => I F
        | (Normal x,NegInf) => I F
        | (Normal x,PosInf) => I T
        | (Normal x,Normal y) => I (x ≤ y))

extreal_sub_curried_def

|- ∀x x1. x − x1 = extreal_sub_tupled (x,x1)

extreal_sub_tupled_primitive_def

|- extreal_sub_tupled =
   WFREC (@R. WF R)
     (λextreal_sub_tupled a'.
        case a' of
          (NegInf,NegInf) => I PosInf
        | (NegInf,PosInf) => I NegInf
        | (NegInf,Normal v6) => I NegInf
        | (PosInf,a) => I PosInf
        | (Normal x,NegInf) => I PosInf
        | (Normal x,PosInf) => I NegInf
        | (Normal x,Normal y) => I (Normal (x − y)))

extreal_add_curried_def

|- ∀x x1. x + x1 = extreal_add_tupled (x,x1)

extreal_add_tupled_primitive_def

|- extreal_add_tupled =
   WFREC (@R. WF R)
     (λextreal_add_tupled a'.
        case a' of
          (NegInf,NegInf) => I NegInf
        | (NegInf,PosInf) => I PosInf
        | (NegInf,Normal v6) => I NegInf
        | (PosInf,a) => I PosInf
        | (Normal x,NegInf) => I NegInf
        | (Normal x,PosInf) => I PosInf
        | (Normal x,Normal y) => I (Normal (x + y)))

real_def

|- ∀x. real x = if (x = NegInf) ∨ (x = PosInf) then 0 else @r. x = Normal r

extreal_of_num_def

|- ∀n. &n = Normal (&n)

extreal_TY_DEF

|- ∃rep.
     TYPE_DEFINITION
       (λa0.
          ∀'extreal' .
            (∀a0.
               (a0 = ind_type$CONSTR 0 ARB (λn. ind_type$BOTTOM)) ∨
               (a0 = ind_type$CONSTR (SUC 0) ARB (λn. ind_type$BOTTOM)) ∨
               (∃a.
                  a0 =
                  (λa. ind_type$CONSTR (SUC (SUC 0)) a (λn. ind_type$BOTTOM))
                    a) ⇒
               'extreal' a0) ⇒
            'extreal' a0) rep

extreal_case_def

|- (∀v v1 f. extreal_CASE NegInf v v1 f = v) ∧
   (∀v v1 f. extreal_CASE PosInf v v1 f = v1) ∧
   ∀a v v1 f. extreal_CASE (Normal a) v v1 f = f a

extreal_size_def

|- (extreal_size NegInf = 0) ∧ (extreal_size PosInf = 0) ∧
   ∀a. extreal_size (Normal a) = 1

ext_mono_increasing_def

|- ∀f. mono_increasing f ⇔ ∀m n. m ≤ n ⇒ f m ≤ f n

ext_mono_decreasing_def

|- ∀f. mono_decreasing f ⇔ ∀m n. m ≤ n ⇒ f n ≤ f m

EXTREAL_SUM_IMAGE_DEF

|- ∀f s. SIGMA f s = ITSET (λe acc. f e + acc) s 0

extreal_sup_def

|- ∀p.
     sup p =
     if ∀x. (∀y. p y ⇒ y ≤ x) ⇒ (x = PosInf) then PosInf
     else if ∀x. p x ⇒ (x = NegInf) then NegInf
     else Normal (sup (λr. p (Normal r)))

extreal_inf_def

|- ∀p. inf p = -sup (IMAGE numeric_negate p)

ext_suminf_def

|- ∀f. suminf f = sup (IMAGE (λn. SIGMA f (count n)) 𝕌(:num))

extreal_min_def

|- ∀x y. min x y = if x ≤ y then x else y

extreal_max_def

|- ∀x y. max x y = if x ≤ y then y else x

Q_set_def

|- Q_set =
   {x | ∃a b. (x = &a / &b) ∧ 0 < &b} ∪ {x | ∃a b. (x = -(&a / &b)) ∧ 0 < &b}

ceiling_def

|- ∀x. ceiling (Normal x) = LEAST n. x ≤ &n

open_interval_def

|- ∀a b. open_interval a b = {x | a < x ∧ x < b}

open_intervals_set_def

|- open_intervals_set =
   {open_interval a b | a ∈ 𝕌(:extreal) ∧ b ∈ 𝕌(:extreal)}

rational_intervals_def

|- rational_intervals = {open_interval a b | a ∈ Q_set ∧ b ∈ Q_set}

Theorems

num_not_infty

|- ∀n. &n ≠ NegInf ∧ &n ≠ PosInf

extreal_not_infty

|- ∀x. Normal x ≠ NegInf ∧ Normal x ≠ PosInf

extreal_eq_zero

|- ∀x. (Normal x = 0) ⇔ (x = 0)

extreal_cases

|- ∀x. (x = NegInf) ∨ (x = PosInf) ∨ ∃r. x = Normal r

mono_increasing_converges_to_sup

|- ∀f r. mono_increasing f ∧ f --> r ⇒ (r = sup (IMAGE f 𝕌(:num)))

mono_decreasing_suc

|- ∀f. mono_decreasing f ⇔ ∀n. f (SUC n) ≤ f n

mono_increasing_suc

|- ∀f. mono_increasing f ⇔ ∀n. f n ≤ f (SUC n)

LOGR_MONO_LE_IMP

|- ∀x y b. 0 < x ∧ x ≤ y ∧ 1 ≤ b ⇒ logr b x ≤ logr b y

LOGR_MONO_LE

|- ∀x y b. 0 < x ∧ 0 < y ∧ 1 < b ⇒ (logr b x ≤ logr b y ⇔ x ≤ y)

POW_NEG_ODD

|- ∀x. x < 0 ⇒ (x pow n < 0 ⇔ ODD n)

POW_POS_EVEN

|- ∀x. x < 0 ⇒ (0 < x pow n ⇔ EVEN n)

REAL_LE_RDIV_EQ_NEG

|- ∀x y z. z < 0 ⇒ (y / z ≤ x ⇔ x * z ≤ y)

REAL_LT_RDIV_EQ_NEG

|- ∀x y z. z < 0 ⇒ (y / z < x ⇔ x * z < y)

REAL_LT_RMUL_NEG_0_NEG

|- ∀x y. x * y < 0 ∧ y < 0 ⇒ 0 < x

REAL_LT_LMUL_NEG_0_NEG

|- ∀x y. x * y < 0 ∧ x < 0 ⇒ 0 < y

REAL_LT_RMUL_NEG_0

|- ∀x y. x * y < 0 ∧ 0 < y ⇒ x < 0

REAL_LT_LMUL_NEG_0

|- ∀x y. x * y < 0 ∧ 0 < x ⇒ y < 0

REAL_LT_RMUL_0_NEG

|- ∀x y. 0 < x * y ∧ y < 0 ⇒ x < 0

REAL_LT_LMUL_0_NEG

|- ∀x y. 0 < x * y ∧ x < 0 ⇒ y < 0

extreal_abs_def

|- (abs (Normal x) = Normal (abs x)) ∧ (abs NegInf = PosInf) ∧
   (abs PosInf = PosInf)

extreal_abs_ind

|- ∀P. (∀x. P (Normal x)) ∧ P NegInf ∧ P PosInf ⇒ ∀v. P v

extreal_mul_def

|- (NegInf * NegInf = PosInf) ∧ (NegInf * PosInf = NegInf) ∧
   (PosInf * NegInf = NegInf) ∧ (PosInf * PosInf = PosInf) ∧
   (Normal x * NegInf =
    if x = 0 then Normal 0 else if 0 < x then NegInf else PosInf) ∧
   (NegInf * Normal y =
    if y = 0 then Normal 0 else if 0 < y then NegInf else PosInf) ∧
   (Normal x * PosInf =
    if x = 0 then Normal 0 else if 0 < x then PosInf else NegInf) ∧
   (PosInf * Normal y =
    if y = 0 then Normal 0 else if 0 < y then PosInf else NegInf) ∧
   (Normal x * Normal y = Normal (x * y))

extreal_mul_ind

|- ∀P.
     P NegInf NegInf ∧ P NegInf PosInf ∧ P PosInf NegInf ∧ P PosInf PosInf ∧
     (∀x. P (Normal x) NegInf) ∧ (∀y. P NegInf (Normal y)) ∧
     (∀x. P (Normal x) PosInf) ∧ (∀y. P PosInf (Normal y)) ∧
     (∀x y. P (Normal x) (Normal y)) ⇒
     ∀v v1. P v v1

extreal_le_def

|- (Normal x ≤ Normal y ⇔ x ≤ y) ∧ (NegInf ≤ a ⇔ T) ∧ (PosInf ≤ PosInf ⇔ T) ∧
   (Normal v2 ≤ PosInf ⇔ T) ∧ (PosInf ≤ NegInf ⇔ F) ∧
   (Normal v3 ≤ NegInf ⇔ F) ∧ (PosInf ≤ Normal v5 ⇔ F)

extreal_le_ind

|- ∀P.
     (∀x y. P (Normal x) (Normal y)) ∧ (∀a. P NegInf a) ∧ P PosInf PosInf ∧
     (∀v2. P (Normal v2) PosInf) ∧ P PosInf NegInf ∧
     (∀v3. P (Normal v3) NegInf) ∧ (∀v5. P PosInf (Normal v5)) ⇒
     ∀v v1. P v v1

extreal_sub_def

|- (Normal x − Normal y = Normal (x − y)) ∧ (PosInf − a = PosInf) ∧
   (NegInf − PosInf = NegInf) ∧ (Normal v2 − PosInf = NegInf) ∧
   (NegInf − NegInf = PosInf) ∧ (NegInf − Normal v5 = NegInf) ∧
   (Normal v3 − NegInf = PosInf)

extreal_sub_ind

|- ∀P.
     (∀x y. P (Normal x) (Normal y)) ∧ (∀a. P PosInf a) ∧ P NegInf PosInf ∧
     (∀v2. P (Normal v2) PosInf) ∧ P NegInf NegInf ∧
     (∀v5. P NegInf (Normal v5)) ∧ (∀v3. P (Normal v3) NegInf) ⇒
     ∀v v1. P v v1

extreal_add_def

|- (Normal x + Normal y = Normal (x + y)) ∧ (PosInf + a = PosInf) ∧
   (NegInf + PosInf = PosInf) ∧ (Normal v2 + PosInf = PosInf) ∧
   (NegInf + NegInf = NegInf) ∧ (NegInf + Normal v5 = NegInf) ∧
   (Normal v3 + NegInf = NegInf)

extreal_add_ind

|- ∀P.
     (∀x y. P (Normal x) (Normal y)) ∧ (∀a. P PosInf a) ∧ P NegInf PosInf ∧
     (∀v2. P (Normal v2) PosInf) ∧ P NegInf NegInf ∧
     (∀v5. P NegInf (Normal v5)) ∧ (∀v3. P (Normal v3) NegInf) ⇒
     ∀v v1. P v v1

normal_real

|- ∀x. x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ⇒ (Normal (real x) = x)

real_normal

|- ∀x. real (Normal x) = x

extreal_induction

|- ∀P. P NegInf ∧ P PosInf ∧ (∀r. P (Normal r)) ⇒ ∀e. P e

extreal_Axiom

|- ∀f0 f1 f2.
     ∃fn. (fn NegInf = f0) ∧ (fn PosInf = f1) ∧ ∀a. fn (Normal a) = f2 a

extreal_nchotomy

|- ∀ee. (ee = NegInf) ∨ (ee = PosInf) ∨ ∃r. ee = Normal r

extreal_case_cong

|- ∀M M' v v1 f.
     (M = M') ∧ ((M' = NegInf) ⇒ (v = v')) ∧ ((M' = PosInf) ⇒ (v1 = v1')) ∧
     (∀a. (M' = Normal a) ⇒ (f a = f' a)) ⇒
     (extreal_CASE M v v1 f = extreal_CASE M' v' v1' f')

extreal_distinct

|- NegInf ≠ PosInf ∧ (∀a. NegInf ≠ Normal a) ∧ ∀a. PosInf ≠ Normal a

datatype_extreal

|- DATATYPE (extreal NegInf PosInf Normal)

extreal_11

|- ∀a a'. (Normal a = Normal a') ⇔ (a = a')

mul_rzero

|- ∀x. x * 0 = 0

mul_lzero

|- ∀x. 0 * x = 0

mul_rone

|- ∀x. x * 1 = x

mul_lone

|- ∀x. 1 * x = x

entire

|- ∀x y. (x * y = 0) ⇔ (x = 0) ∨ (y = 0)

extreal_lt_eq

|- ∀x y. Normal x < Normal y ⇔ x < y

le_refl

|- ∀x. x ≤ x

lt_refl

|- ∀x. ¬(x < x)

le_infty

|- (∀x. NegInf ≤ x ∧ x ≤ PosInf) ∧ (∀x. x ≤ NegInf ⇔ (x = NegInf)) ∧
   ∀x. PosInf ≤ x ⇔ (x = PosInf)

lt_infty

|- ∀x y.
     NegInf < Normal y ∧ Normal y < PosInf ∧ NegInf < PosInf ∧ ¬(x < NegInf) ∧
     ¬(PosInf < x) ∧ (x ≠ PosInf ⇔ x < PosInf) ∧ (x ≠ NegInf ⇔ NegInf < x)

lt_imp_le

|- ∀x y. x < y ⇒ x ≤ y

lt_imp_ne

|- ∀x y. x < y ⇒ x ≠ y

le_trans

|- ∀x y z. x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z

lt_trans

|- ∀x y z. x < y ∧ y < z ⇒ x < z

let_trans

|- ∀x y z. x ≤ y ∧ y < z ⇒ x < z

le_antisym

|- ∀x y. x ≤ y ∧ y ≤ x ⇔ (x = y)

lt_antisym

|- ∀x y. ¬(x < y ∧ y < x)

lte_trans

|- ∀x y z. x < y ∧ y ≤ z ⇒ x < z

le_total

|- ∀x y. x ≤ y ∨ y ≤ x

lt_total

|- ∀x y. (x = y) ∨ x < y ∨ y < x

le_01

|- 0 ≤ 1

lt_01

|- 0 < 1

ne_01

|- 0 ≠ 1

le_02

|- 0 ≤ 2

lt_02

|- 0 < 2

ne_02

|- 0 ≠ 2

le_num

|- ∀n. 0 ≤ &n

lt_le

|- ∀x y. x < y ⇔ x ≤ y ∧ x ≠ y

le_lt

|- ∀x y. x ≤ y ⇔ x < y ∨ (x = y)

le_neg

|- ∀x y. -x ≤ -y ⇔ y ≤ x

lt_neg

|- ∀x y. -x < -y ⇔ y < x

le_add

|- ∀x y. 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x + y

lt_add

|- ∀x y. 0 < x ∧ 0 < y ⇒ 0 < x + y

let_add

|- ∀x y. 0 ≤ x ∧ 0 < y ⇒ 0 < x + y

lte_add

|- ∀x y. 0 < x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 < x + y

le_add2

|- ∀w x y z. w ≤ x ∧ y ≤ z ⇒ w + y ≤ x + z

lt_add2

|- ∀w x y z. w < x ∧ y < z ⇒ w + y < x + z

let_add2

|- ∀w x y z. w ≠ NegInf ∧ w ≠ PosInf ∧ w ≤ x ∧ y < z ⇒ w + y < x + z

let_add2_alt

|- ∀w x y z. x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ∧ w ≤ x ∧ y < z ⇒ w + y < x + z

le_addr

|- ∀x y. x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ⇒ (x ≤ x + y ⇔ 0 ≤ y)

le_addr_imp

|- ∀x y. 0 ≤ y ⇒ x ≤ x + y

le_ladd

|- ∀x y z. x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ⇒ (x + y ≤ x + z ⇔ y ≤ z)

le_radd

|- ∀x y z. x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ⇒ (y + x ≤ z + x ⇔ y ≤ z)

le_radd_imp

|- ∀x y z. y ≤ z ⇒ y + x ≤ z + x

le_ladd_imp

|- ∀x y z. y ≤ z ⇒ x + y ≤ x + z

lt_ladd

|- ∀x y z. x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ⇒ (x + y < x + z ⇔ y < z)

lt_radd

|- ∀x y z. x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ⇒ (y + x < z + x ⇔ y < z)

lt_addl

|- ∀x y. y ≠ NegInf ∧ y ≠ PosInf ⇒ (y < x + y ⇔ 0 < x)

le_lneg

|- ∀x y. -x ≤ y ⇔ 0 ≤ x + y

le_mul

|- ∀x y. 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x * y

let_mul

|- ∀x y. 0 ≤ x ∧ 0 < y ⇒ 0 ≤ x * y

lte_mul

|- ∀x y. 0 < x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x * y

le_mul_neg

|- ∀x y. x ≤ 0 ∧ y ≤ 0 ⇒ 0 ≤ x * y

mul_le

|- ∀x y. 0 ≤ x ∧ y ≤ 0 ⇒ x * y ≤ 0

lt_mul

|- ∀x y. 0 < x ∧ 0 < y ⇒ 0 < x * y

lt_mul_neg

|- ∀x y. x < 0 ∧ y < 0 ⇒ 0 < x * y

mul_lt

|- ∀x y. 0 < x ∧ y < 0 ⇒ x * y < 0

mul_let

|- ∀x y. 0 ≤ x ∧ y < 0 ⇒ x * y ≤ 0

mul_lte

|- ∀x y. 0 < x ∧ y ≤ 0 ⇒ x * y ≤ 0

le_rmul_imp

|- ∀x y z. 0 < z ∧ x ≤ y ⇒ x * z ≤ y * z

le_lmul_imp

|- ∀x y z. 0 ≤ z ∧ x ≤ y ⇒ z * x ≤ z * y

lt_rmul

|- ∀x y z. 0 < z ∧ z ≠ PosInf ⇒ (x * z < y * z ⇔ x < y)

lt_lmul

|- ∀x y z. 0 < x ∧ x ≠ PosInf ⇒ (x * y < x * z ⇔ y < z)

lt_mul2

|- ∀x1 x2 y1 y2.
     0 ≤ x1 ∧ 0 ≤ y1 ∧ x1 ≠ PosInf ∧ y1 ≠ PosInf ∧ x1 < x2 ∧ y1 < y2 ⇒
     x1 * y1 < x2 * y2

abs_pos

|- ∀x. 0 ≤ abs x

abs_refl

|- ∀x. (abs x = x) ⇔ 0 ≤ x

abs_bounds

|- ∀x k. abs x ≤ k ⇔ -k ≤ x ∧ x ≤ k

abs_bounds_lt

|- ∀x k. abs x < k ⇔ -k < x ∧ x < k

add_comm

|- ∀x y. x + y = y + x

add_assoc

|- ∀x y z. x + (y + z) = x + y + z

add_not_infty

|- ∀x y.
     (x ≠ NegInf ∧ y ≠ NegInf ⇒ x + y ≠ NegInf) ∧
     (x ≠ PosInf ∧ y ≠ PosInf ⇒ x + y ≠ PosInf)

add_rzero

|- ∀x. x + 0 = x

add_lzero

|- ∀x. 0 + x = x

add_infty

|- (∀x. (x + PosInf = PosInf) ∧ (PosInf + x = PosInf)) ∧
   ∀x. x ≠ PosInf ⇒ (x + NegInf = NegInf) ∧ (NegInf + x = NegInf)

EXTREAL_EQ_LADD

|- ∀x y z. x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ⇒ ((x + y = x + z) ⇔ (y = z))

sub_rzero

|- ∀x. x − 0 = x

sub_lzero

|- ∀x. 0 − x = -x

sub_le_imp

|- ∀x y z. x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ∧ y ≤ z + x ⇒ y − x ≤ z

sub_le_imp2

|- ∀x y z. y ≠ NegInf ∧ y ≠ PosInf ∧ y ≤ z + x ⇒ y − x ≤ z

le_sub_imp

|- ∀x y z. y + x ≤ z ⇒ y ≤ z − x

lt_sub_imp

|- ∀x y z. y + x < z ⇒ y < z − x

sub_lt_imp

|- ∀x y z. x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ∧ y < z + x ⇒ y − x < z

sub_lt_imp2

|- ∀x y z. z ≠ NegInf ∧ z ≠ PosInf ∧ y < z + x ⇒ y − x < z

sub_zero_lt

|- ∀x y. x < y ⇒ 0 < y − x

sub_zero_lt2

|- ∀x y. x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ∧ 0 < y − x ⇒ x < y

sub_lt_zero

|- ∀x y. x < y ⇒ x − y < 0

sub_lt_zero2

|- ∀x y. y ≠ NegInf ∧ y ≠ PosInf ∧ x − y < 0 ⇒ x < y

sub_zero_le

|- ∀x y. x ≤ y ⇔ 0 ≤ y − x

sub_le_zero

|- ∀x y. y ≠ NegInf ∧ y ≠ PosInf ⇒ (x ≤ y ⇔ x − y ≤ 0)

le_sub_eq

|- ∀x y z. x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ⇒ (y ≤ z − x ⇔ y + x ≤ z)

le_sub_eq2

|- ∀x y z.
     z ≠ NegInf ∧ z ≠ PosInf ∧ x ≠ NegInf ∧ y ≠ NegInf ⇒
     (y ≤ z − x ⇔ y + x ≤ z)

sub_le_eq

|- ∀x y z. x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ⇒ (y − x ≤ z ⇔ y ≤ z + x)

sub_le_eq2

|- ∀x y z.
     y ≠ NegInf ∧ y ≠ PosInf ∧ x ≠ NegInf ∧ z ≠ NegInf ⇒
     (y − x ≤ z ⇔ y ≤ z + x)

sub_le_switch

|- ∀x y z.
     x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ∧ z ≠ NegInf ∧ z ≠ PosInf ⇒
     (y − x ≤ z ⇔ y − z ≤ x)

sub_le_switch2

|- ∀x y z.
     x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ∧ y ≠ NegInf ∧ y ≠ PosInf ⇒
     (y − x ≤ z ⇔ y − z ≤ x)

lt_sub

|- ∀x y z. z ≠ NegInf ∧ z ≠ PosInf ⇒ (y + x < z ⇔ y < z − x)

sub_add2

|- ∀x y. x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ⇒ (x + (y − x) = y)

add_sub

|- ∀x y. y ≠ NegInf ∧ y ≠ PosInf ⇒ (x + y − y = x)

add_sub2

|- ∀x y. y ≠ NegInf ∧ y ≠ PosInf ⇒ (y + x − y = x)

sub_add

|- ∀x y. y ≠ NegInf ∧ y ≠ PosInf ⇒ (x − y + y = x)

extreal_sub_add

|- ∀x y. x − y = x + -y

sub_0

|- ∀x y. (x − y = 0) ⇒ (x = y)

neg_neg

|- ∀x. - -x = x

neg_0

|- -0 = 0

neg_eq0

|- ∀x. (-x = 0) ⇔ (x = 0)

eq_neg

|- ∀x y. (-x = -y) ⇔ (x = y)

neg_minus1

|- ∀x. -x = -1 * x

sub_rneg

|- ∀x y. x − -y = x + y

sub_lneg

|- ∀x y.
     x ≠ NegInf ∧ y ≠ NegInf ∨ x ≠ PosInf ∧ y ≠ PosInf ⇒ (-x − y = -(x + y))

neg_sub

|- ∀x y.
     x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ∨ y ≠ NegInf ∧ y ≠ PosInf ⇒ (-(x − y) = y − x)

sub_not_infty

|- ∀x y.
     (x ≠ NegInf ∧ y ≠ PosInf ⇒ x − y ≠ NegInf) ∧
     (x ≠ PosInf ∧ y ≠ NegInf ⇒ x − y ≠ PosInf)

le_lsub_imp

|- ∀x y z. y ≤ z ⇒ x − z ≤ x − y

eq_sub_ladd_normal

|- ∀x y z. (x = y − Normal z) ⇔ (x + Normal z = y)

eq_sub_radd

|- ∀x y z. y ≠ NegInf ∧ y ≠ PosInf ⇒ ((x − y = z) ⇔ (x = z + y))

eq_sub_ladd

|- ∀x y z. z ≠ NegInf ∧ z ≠ PosInf ⇒ ((x = y − z) ⇔ (x + z = y))

eq_sub_switch

|- ∀x y z. (x = Normal z − y) ⇔ (y = Normal z − x)

eq_add_sub_switch

|- ∀a b c d.
     b ≠ NegInf ∧ b ≠ PosInf ∧ c ≠ NegInf ∧ c ≠ PosInf ⇒
     ((a + b = c + d) ⇔ (a − c = d − b))

sub_refl

|- ∀x. x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ⇒ (x − x = 0)

mul_comm

|- ∀x y. x * y = y * x

mul_assoc

|- ∀x y z. x * (y * z) = x * y * z

mul_not_infty

|- (∀c y. 0 ≤ c ∧ y ≠ NegInf ⇒ Normal c * y ≠ NegInf) ∧
   (∀c y. 0 ≤ c ∧ y ≠ PosInf ⇒ Normal c * y ≠ PosInf) ∧
   (∀c y. c ≤ 0 ∧ y ≠ NegInf ⇒ Normal c * y ≠ PosInf) ∧
   ∀c y. c ≤ 0 ∧ y ≠ PosInf ⇒ Normal c * y ≠ NegInf

mul_not_infty2

|- ∀x y.
     x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ∧ y ≠ NegInf ∧ y ≠ PosInf ⇒
     x * y ≠ NegInf ∧ x * y ≠ PosInf

add_ldistrib_pos

|- ∀x y z. 0 ≤ y ∧ 0 ≤ z ⇒ (x * (y + z) = x * y + x * z)

add_ldistrib_neg

|- ∀x y z. y ≤ 0 ∧ z ≤ 0 ⇒ (x * (y + z) = x * y + x * z)

add_ldistrib_normal

|- ∀x y z.
     y ≠ PosInf ∧ z ≠ PosInf ∨ y ≠ NegInf ∧ z ≠ NegInf ⇒
     (Normal x * (y + z) = Normal x * y + Normal x * z)

add_ldistrib_normal2

|- ∀x y z. 0 ≤ x ⇒ (Normal x * (y + z) = Normal x * y + Normal x * z)

add_rdistrib_normal

|- ∀x y z.
     y ≠ PosInf ∧ z ≠ PosInf ∨ y ≠ NegInf ∧ z ≠ NegInf ⇒
     ((y + z) * Normal x = y * Normal x + z * Normal x)

add_rdistrib_normal2

|- ∀x y z. 0 ≤ x ⇒ ((y + z) * Normal x = y * Normal x + z * Normal x)

add_ldistrib

|- ∀x y z. 0 ≤ y ∧ 0 ≤ z ∨ y ≤ 0 ∧ z ≤ 0 ⇒ (x * (y + z) = x * y + x * z)

add_rdistrib

|- ∀x y z. 0 ≤ y ∧ 0 ≤ z ∨ y ≤ 0 ∧ z ≤ 0 ⇒ ((y + z) * x = y * x + z * x)

mul_lneg

|- ∀x y. -x * y = -(x * y)

mul_rneg

|- ∀x y. x * -y = -(x * y)

neg_mul2

|- ∀x y. -x * -y = x * y

add2_sub2

|- ∀a b c d.
     b ≠ PosInf ∧ d ≠ PosInf ∨ b ≠ NegInf ∧ d ≠ NegInf ⇒
     (a − b + (c − d) = a + c − (b + d))

sub_ldistrib

|- ∀x y z.
     x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ∧ y ≠ NegInf ∧ y ≠ PosInf ∧ z ≠ NegInf ∧
     z ≠ PosInf ⇒
     (x * (y − z) = x * y − x * z)

sub_rdistrib

|- ∀x y z.
     x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ∧ y ≠ NegInf ∧ y ≠ PosInf ∧ z ≠ NegInf ∧
     z ≠ PosInf ⇒
     ((x − y) * z = x * z − y * z)

extreal_div_eq

|- ∀x y. Normal x / Normal y = Normal (x / y)

inv_one

|- inv 1 = 1

inv_1over

|- ∀x. inv x = 1 / x

div_one

|- ∀x. x / 1 = x

inv_pos

|- ∀x. 0 < x ∧ x ≠ PosInf ⇒ 0 < 1 / x

rinv_uniq

|- ∀x y. (x * y = 1) ⇒ (y = inv x)

linv_uniq

|- ∀x y. (x * y = 1) ⇒ (x = inv y)

le_rdiv

|- ∀x y z. 0 < x ⇒ (y * Normal x ≤ z ⇔ y ≤ z / Normal x)

le_ldiv

|- ∀x y z. 0 < x ⇒ (y ≤ z * Normal x ⇔ y / Normal x ≤ z)

lt_rdiv

|- ∀x y z. 0 < z ⇒ (x < y / Normal z ⇔ x * Normal z < y)

lt_ldiv

|- ∀x y z. 0 < z ⇒ (x / Normal z < y ⇔ x < y * Normal z)

lt_rdiv_neg

|- ∀x y z. z < 0 ⇒ (y / Normal z < x ⇔ x * Normal z < y)

div_add

|- ∀x y z. x ≠ NegInf ∧ y ≠ NegInf ∧ z ≠ 0 ⇒ (x / z + y / z = (x + y) / z)

le_inv

|- ∀x. 0 ≤ x ⇒ 0 ≤ inv x

pow_0

|- ∀x. x pow 0 = 1

pow_1

|- ∀x. x pow 1 = x

pow_2

|- ∀x. x pow 2 = x * x

pow_zero

|- ∀n x. (x pow SUC n = 0) ⇔ (x = 0)

pow_zero_imp

|- ∀n x. (x pow n = 0) ⇒ (x = 0)

le_pow2

|- ∀x. 0 ≤ x pow 2

pow_pos_le

|- ∀x. 0 ≤ x ⇒ ∀n. 0 ≤ x pow n

pow_pos_lt

|- ∀x n. 0 < x ⇒ 0 < x pow n

pow_le

|- ∀n x y. 0 ≤ x ∧ x ≤ y ⇒ x pow n ≤ y pow n

pow_lt

|- ∀n x y. 0 ≤ x ∧ x < y ⇒ x pow SUC n < y pow SUC n

pow_lt2

|- ∀n x y. n ≠ 0 ∧ 0 ≤ x ∧ x < y ⇒ x pow n < y pow n

pow_le_mono

|- ∀x n m. 1 ≤ x ∧ n ≤ m ⇒ x pow n ≤ x pow m

pow_pos_even

|- ∀x. x < 0 ⇒ (0 < x pow n ⇔ EVEN n)

pow_neg_odd

|- ∀x. x < 0 ⇒ (x pow n < 0 ⇔ ODD n)

add_pow2

|- ∀x y. (x + y) pow 2 = x pow 2 + y pow 2 + 2 * x * y

pow_add

|- ∀x n m. x pow (n + m) = x pow n * x pow m

pow_mul

|- ∀n x y. (x * y) pow n = x pow n * y pow n

pow_minus1

|- ∀n. -1 pow (2 * n) = 1

pow_not_infty

|- ∀n x. x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ⇒ x pow n ≠ NegInf ∧ x pow n ≠ PosInf

sqrt_pos_le

|- ∀x. 0 ≤ x ⇒ 0 ≤ sqrt x

sqrt_pos_lt

|- ∀x. 0 < x ⇒ 0 < sqrt x

pow2_sqrt

|- ∀x. 0 ≤ x ⇒ (sqrt (x pow 2) = x)

sqrt_pow2

|- ∀x. (sqrt x pow 2 = x) ⇔ 0 ≤ x

sqrt_mono_le

|- ∀x y. 0 ≤ x ∧ x ≤ y ⇒ sqrt x ≤ sqrt y

logr_not_infty

|- ∀x b. x ≠ NegInf ∧ x ≠ PosInf ⇒ logr b x ≠ NegInf ∧ logr b x ≠ PosInf

half_between

|- (0 < 1 / 2 ∧ 1 / 2 < 1) ∧ 0 ≤ 1 / 2 ∧ 1 / 2 ≤ 1

thirds_between

|- ((0 < 1 / 3 ∧ 1 / 3 < 1) ∧ 0 < 2 / 3 ∧ 2 / 3 < 1) ∧
   (0 ≤ 1 / 3 ∧ 1 / 3 ≤ 1) ∧ 0 ≤ 2 / 3 ∧ 2 / 3 ≤ 1

half_cancel

|- 2 * (1 / 2) = 1

third_cancel

|- 3 * (1 / 3) = 1

fourth_cancel

|- 4 * (1 / 4) = 1

quotient_normal

|- ∀n m. &n / &m = Normal (&n / &m)

ext_mono_increasing_suc

|- ∀f. mono_increasing f ⇔ ∀n. f n ≤ f (SUC n)

ext_mono_decreasing_suc

|- ∀f. mono_decreasing f ⇔ ∀n. f (SUC n) ≤ f n

EXTREAL_ARCH

|- ∀x. 0 < x ⇒ ∀y. y ≠ PosInf ⇒ ∃n. y < &n * x

SIMP_REAL_ARCH

|- ∀x. ∃n. x ≤ &n

SIMP_REAL_ARCH_NEG

|- ∀x. ∃n. -&n ≤ x

SIMP_EXTREAL_ARCH

|- ∀x. x ≠ PosInf ⇒ ∃n. x ≤ &n

REAL_ARCH_POW

|- ∀x. ∃n. x < 2 pow n

EXTREAL_ARCH_POW

|- ∀x. x ≠ PosInf ⇒ ∃n. x < 2 pow n

EXTREAL_ARCH_POW_INV

|- ∀e. 0 < e ⇒ ∃n. Normal ((1 / 2) pow n) < e

REAL_LE_MUL_EPSILON

|- ∀x y. (∀z. 0 < z ∧ z < 1 ⇒ z * x ≤ y) ⇒ x ≤ y

le_epsilon

|- ∀x y. (∀e. 0 < e ∧ e ≠ PosInf ⇒ x ≤ y + e) ⇒ x ≤ y

le_mul_epsilon

|- ∀x y. (∀z. 0 ≤ z ∧ z < 1 ⇒ z * x ≤ y) ⇒ x ≤ y

EXTREAL_SUM_IMAGE_THM

|- ∀f.
     (SIGMA f ∅ = 0) ∧
     ∀e s. FINITE s ⇒ (SIGMA f (e INSERT s) = f e + SIGMA f (s DELETE e))

EXTREAL_SUM_IMAGE_NOT_NEG_INF

|- ∀f s. FINITE s ∧ (∀x. x ∈ s ⇒ f x ≠ NegInf) ⇒ SIGMA f s ≠ NegInf

EXTREAL_SUM_IMAGE_NOT_POS_INF

|- ∀f s. FINITE s ∧ (∀x. x ∈ s ⇒ f x ≠ PosInf) ⇒ SIGMA f s ≠ PosInf

EXTREAL_SUM_IMAGE_NOT_INFTY

|- ∀f s.
     (FINITE s ∧ (∀x. x ∈ s ⇒ f x ≠ NegInf) ⇒ SIGMA f s ≠ NegInf) ∧
     (FINITE s ∧ (∀x. x ∈ s ⇒ f x ≠ PosInf) ⇒ SIGMA f s ≠ PosInf)

EXTREAL_SUM_IMAGE_SING

|- ∀f e. SIGMA f {e} = f e

EXTREAL_SUM_IMAGE_POS

|- ∀f s. FINITE s ∧ (∀x. x ∈ s ⇒ 0 ≤ f x) ⇒ 0 ≤ SIGMA f s

EXTREAL_SUM_IMAGE_SPOS

|- ∀f s. FINITE s ∧ s ≠ ∅ ∧ (∀x. x ∈ s ⇒ 0 < f x) ⇒ 0 < SIGMA f s

EXTREAL_SUM_IMAGE_IF_ELIM

|- ∀s P f.
     FINITE s ∧ (∀x. x ∈ s ⇒ P x) ⇒
     (SIGMA (λx. if P x then f x else 0) s = SIGMA f s)

EXTREAL_SUM_IMAGE_FINITE_SAME

|- ∀s.
     FINITE s ⇒
     ∀f p. p ∈ s ∧ (∀q. q ∈ s ⇒ (f p = f q)) ⇒ (SIGMA f s = &CARD s * f p)

EXTREAL_SUM_IMAGE_FINITE_CONST

|- ∀P. FINITE P ⇒ ∀f x. (∀y. f y = x) ⇒ (SIGMA f P = &CARD P * x)

EXTREAL_SUM_IMAGE_ZERO

|- ∀s. FINITE s ⇒ (SIGMA (λx. 0) s = 0)

EXTREAL_SUM_IMAGE_0

|- ∀f s. FINITE s ∧ (∀x. x ∈ s ⇒ (f x = 0)) ⇒ (SIGMA f s = 0)

EXTREAL_SUM_IMAGE_IN_IF

|- ∀s. FINITE s ⇒ ∀f. SIGMA f s = SIGMA (λx. if x ∈ s then f x else 0) s

EXTREAL_SUM_IMAGE_CMUL

|- ∀s.
     FINITE s ⇒
     ∀f c.
       0 ≤ c ∨ (∀x. x ∈ s ⇒ 0 ≤ f x) ⇒
       (SIGMA (λx. Normal c * f x) s = Normal c * SIGMA f s)

EXTREAL_SUM_IMAGE_CMUL2

|- ∀s f c.
     FINITE s ∧ (∀x. x ∈ s ⇒ f x ≠ NegInf) ⇒
     (SIGMA (λx. Normal c * f x) s = Normal c * SIGMA f s)

EXTREAL_SUM_IMAGE_IMAGE

|- ∀s.
     FINITE s ⇒
     ∀f'. INJ f' s (IMAGE f' s) ⇒ ∀f. SIGMA f (IMAGE f' s) = SIGMA (f o f') s

EXTREAL_SUM_IMAGE_DISJOINT_UNION

|- ∀s s'.
     FINITE s ∧ FINITE s' ∧ DISJOINT s s' ⇒
     ∀f. SIGMA f (s ∪ s') = SIGMA f s + SIGMA f s'

EXTREAL_SUM_IMAGE_EQ_CARD

|- ∀s. FINITE s ⇒ (SIGMA (λx. if x ∈ s then 1 else 0) s = &CARD s)

EXTREAL_SUM_IMAGE_INV_CARD_EQ_1

|- ∀s.
     s ≠ ∅ ∧ FINITE s ⇒ (SIGMA (λx. if x ∈ s then inv (&CARD s) else 0) s = 1)

EXTREAL_SUM_IMAGE_INTER_NONZERO

|- ∀s. FINITE s ⇒ ∀f. SIGMA f (s ∩ (λp. f p ≠ 0)) = SIGMA f s

EXTREAL_SUM_IMAGE_INTER_ELIM

|- ∀s.
     FINITE s ⇒
     ∀f s'. (∀x. x ∉ s' ⇒ (f x = 0)) ⇒ (SIGMA f (s ∩ s') = SIGMA f s)

EXTREAL_SUM_IMAGE_ZERO_DIFF

|- ∀s.
     FINITE s ⇒
     ∀f t. (∀x. x ∈ t ⇒ (f x = 0)) ⇒ (SIGMA f s = SIGMA f (s DIFF t))

EXTREAL_SUM_IMAGE_MONO

|- ∀s. FINITE s ⇒ ∀f f'. (∀x. x ∈ s ⇒ f x ≤ f' x) ⇒ SIGMA f s ≤ SIGMA f' s

EXTREAL_SUM_IMAGE_MONO_SET

|- ∀f s t.
     FINITE s ∧ FINITE t ∧ s ⊆ t ∧ (∀x. x ∈ t ⇒ 0 ≤ f x) ⇒
     SIGMA f s ≤ SIGMA f t

EXTREAL_SUM_IMAGE_EQ

|- ∀s. FINITE s ⇒ ∀f f'. (∀x. x ∈ s ⇒ (f x = f' x)) ⇒ (SIGMA f s = SIGMA f' s)

EXTREAL_SUM_IMAGE_POS_MEM_LE

|- ∀f s. FINITE s ∧ (∀x. x ∈ s ⇒ 0 ≤ f x) ⇒ ∀x. x ∈ s ⇒ f x ≤ SIGMA f s

EXTREAL_SUM_IMAGE_ADD

|- ∀s. FINITE s ⇒ ∀f f'. SIGMA (λx. f x + f' x) s = SIGMA f s + SIGMA f' s

EXTREAL_SUM_IMAGE_SUB

|- ∀s.
     FINITE s ⇒
     ∀f f'.
       (∀x. x ∈ s ⇒ f' x ≠ NegInf) ∨ (∀x. x ∈ s ⇒ f' x ≠ PosInf) ⇒
       (SIGMA (λx. f x − f' x) s = SIGMA f s − SIGMA f' s)

EXTREAL_SUM_IMAGE_EXTREAL_SUM_IMAGE

|- ∀s s' f.
     FINITE s ∧ FINITE s' ⇒
     (SIGMA (λx. SIGMA (f x) s') s = SIGMA (λx. f (FST x) (SND x)) (s × s'))

EXTREAL_SUM_IMAGE_NORMAL

|- ∀f s. FINITE s ⇒ (SIGMA (λx. Normal (f x)) s = Normal (SIGMA f s))

EXTREAL_SUM_IMAGE_IN_IF_ALT

|- ∀s f z. FINITE s ⇒ (SIGMA f s = SIGMA (λx. if x ∈ s then f x else z) s)

EXTREAL_SUM_IMAGE_CROSS_SYM

|- ∀f s1 s2.
     FINITE s1 ∧ FINITE s2 ⇒
     (SIGMA (λ(x,y). f (x,y)) (s1 × s2) = SIGMA (λ(y,x). f (x,y)) (s2 × s1))

EXTREAL_SUM_IMAGE_COUNT

|- ∀f.
     (SIGMA f (count 2) = f 0 + f 1) ∧ (SIGMA f (count 3) = f 0 + f 1 + f 2) ∧
     (SIGMA f (count 4) = f 0 + f 1 + f 2 + f 3) ∧
     (SIGMA f (count 5) = f 0 + f 1 + f 2 + f 3 + f 4)

le_sup_imp

|- ∀p x. p x ⇒ x ≤ sup p

sup_le

|- ∀p x. sup p ≤ x ⇔ ∀y. p y ⇒ y ≤ x

le_sup

|- ∀p x. x ≤ sup p ⇔ ∀y. (∀z. p z ⇒ z ≤ y) ⇒ x ≤ y

sup_eq

|- ∀p x. (sup p = x) ⇔ (∀y. p y ⇒ y ≤ x) ∧ ∀y. (∀z. p z ⇒ z ≤ y) ⇒ x ≤ y

sup_const

|- ∀x. sup (λy. y = x) = x

sup_const_alt

|- ∀p z. (∃x. p x) ∧ (∀x. p x ⇒ (x = z)) ⇒ (sup p = z)

sup_const_over_set

|- ∀s k. s ≠ ∅ ⇒ (sup (IMAGE (λx. k) s) = k)

sup_num

|- sup (λx. ∃n. x = &n) = PosInf

sup_le_sup_imp

|- ∀p q. (∀x. p x ⇒ ∃y. q y ∧ x ≤ y) ⇒ sup p ≤ sup q

sup_mono

|- ∀p q. (∀n. p n ≤ q n) ⇒ sup (IMAGE p 𝕌(:num)) ≤ sup (IMAGE q 𝕌(:num))

sup_suc

|- ∀f.
     (∀m n. m ≤ n ⇒ f m ≤ f n) ⇒
     (sup (IMAGE (λn. f (SUC n)) 𝕌(:num)) = sup (IMAGE f 𝕌(:num)))

sup_seq

|- ∀f l.
     mono_increasing f ⇒
     (f --> l ⇔ (sup (IMAGE (λn. Normal (f n)) 𝕌(:num)) = Normal l))

sup_lt_infty

|- ∀p. sup p < PosInf ⇒ ∀x. p x ⇒ x < PosInf

sup_max

|- ∀p z. p z ∧ (∀x. p x ⇒ x ≤ z) ⇒ (sup p = z)

sup_add_mono

|- ∀f g.
     (∀n. 0 ≤ f n) ∧ (∀n. f n ≤ f (SUC n)) ∧ (∀n. 0 ≤ g n) ∧
     (∀n. g n ≤ g (SUC n)) ⇒
     (sup (IMAGE (λn. f n + g n) 𝕌(:num)) =
      sup (IMAGE f 𝕌(:num)) + sup (IMAGE g 𝕌(:num)))

sup_sum_mono

|- ∀f s.
     FINITE s ∧ (∀i. i ∈ s ⇒ ∀n. 0 ≤ f i n) ∧
     (∀i. i ∈ s ⇒ ∀n. f i n ≤ f i (SUC n)) ⇒
     (sup (IMAGE (λn. SIGMA (λi. f i n) s) 𝕌(:num)) =
      SIGMA (λi. sup (IMAGE (f i) 𝕌(:num))) s)

sup_le_mono

|- ∀f z. (∀n. f n ≤ f (SUC n)) ∧ z < sup (IMAGE f 𝕌(:num)) ⇒ ∃n. z ≤ f n

sup_cmul

|- ∀f c.
     0 ≤ c ⇒
     (sup (IMAGE (λn. Normal c * f n) 𝕌(:α)) = Normal c * sup (IMAGE f 𝕌(:α)))

sup_lt

|- ∀P y. (∃x. P x ∧ y < x) ⇔ y < sup P

sup_lt_epsilon

|- ∀P e.
     0 < e ∧ (∃x. P x ∧ x ≠ NegInf) ∧ sup P ≠ PosInf ⇒ ∃x. P x ∧ sup P < x + e

inf_le_imp

|- ∀p x. p x ⇒ inf p ≤ x

le_inf

|- ∀p x. x ≤ inf p ⇔ ∀y. p y ⇒ x ≤ y

inf_le

|- ∀p x. inf p ≤ x ⇔ ∀y. (∀z. p z ⇒ y ≤ z) ⇒ y ≤ x

inf_eq

|- ∀p x. (inf p = x) ⇔ (∀y. p y ⇒ x ≤ y) ∧ ∀y. (∀z. p z ⇒ y ≤ z) ⇒ y ≤ x

inf_const

|- ∀x. inf (λy. y = x) = x

inf_const_alt

|- ∀p z. (∃x. p x) ∧ (∀x. p x ⇒ (x = z)) ⇒ (inf p = z)

inf_const_over_set

|- ∀s k. s ≠ ∅ ⇒ (inf (IMAGE (λx. k) s) = k)

inf_suc

|- ∀f.
     (∀m n. m ≤ n ⇒ f n ≤ f m) ⇒
     (inf (IMAGE (λn. f (SUC n)) 𝕌(:num)) = inf (IMAGE f 𝕌(:num)))

inf_seq

|- ∀f l.
     mono_decreasing f ⇒
     (f --> l ⇔ (inf (IMAGE (λn. Normal (f n)) 𝕌(:num)) = Normal l))

inf_lt_infty

|- ∀p. NegInf < inf p ⇒ ∀x. p x ⇒ NegInf < x

inf_min

|- ∀p z. p z ∧ (∀x. p x ⇒ z ≤ x) ⇒ (inf p = z)

inf_cminus

|- ∀f c.
     Normal c − inf (IMAGE f 𝕌(:α)) = sup (IMAGE (λn. Normal c − f n) 𝕌(:α))

ext_suminf_add

|- ∀f g.
     (∀n. 0 ≤ f n ∧ 0 ≤ g n) ⇒ (suminf (λn. f n + g n) = suminf f + suminf g)

ext_suminf_cmul

|- ∀f c. 0 ≤ c ∧ (∀n. 0 ≤ f n) ⇒ (suminf (λn. c * f n) = c * suminf f)

ext_suminf_cmul_alt

|- ∀f c.
     0 ≤ c ∧ ((∀n. f n ≠ NegInf) ∨ ∀n. f n ≠ PosInf) ⇒
     (suminf (λn. Normal c * f n) = Normal c * suminf f)

ext_suminf_lt_infty

|- ∀f. (∀n. 0 ≤ f n) ∧ suminf f ≠ PosInf ⇒ ∀n. f n < PosInf

ext_suminf_suminf

|- ∀r.
     (∀n. 0 ≤ r n) ∧ suminf (λn. Normal (r n)) ≠ PosInf ⇒
     (suminf (λn. Normal (r n)) = Normal (suminf r))

ext_suminf_mono

|- ∀f g. (∀n. g n ≠ NegInf ∧ g n ≤ f n) ⇒ suminf g ≤ suminf f

ext_suminf_sub

|- ∀f g.
     (∀n. 0 ≤ g n ∧ g n ≤ f n) ∧ suminf f ≠ PosInf ⇒
     (suminf (λi. f i − g i) = suminf f − suminf g)

ext_suminf_sum

|- ∀f n.
     (∀n. 0 ≤ f n) ∧ (∀m. n ≤ m ⇒ (f m = 0)) ⇒ (suminf f = SIGMA f (count n))

min_le

|- ∀z x y. min x y ≤ z ⇔ x ≤ z ∨ y ≤ z

min_le1

|- ∀x y. min x y ≤ x

min_le2

|- ∀x y. min x y ≤ y

le_min

|- ∀z x y. z ≤ min x y ⇔ z ≤ x ∧ z ≤ y

min_le2_imp

|- ∀x1 x2 y1 y2. x1 ≤ y1 ∧ x2 ≤ y2 ⇒ min x1 x2 ≤ min y1 y2

min_refl

|- ∀x. min x x = x

min_comm

|- ∀x y. min x y = min y x

min_infty

|- ∀x.
     (min x PosInf = x) ∧ (min PosInf x = x) ∧ (min NegInf x = NegInf) ∧
     (min x NegInf = NegInf)

le_max

|- ∀z x y. z ≤ max x y ⇔ z ≤ x ∨ z ≤ y

le_max1

|- ∀x y. x ≤ max x y

le_max2

|- ∀x y. y ≤ max x y

max_le

|- ∀z x y. max x y ≤ z ⇔ x ≤ z ∧ y ≤ z

max_le2_imp

|- ∀x1 x2 y1 y2. x1 ≤ y1 ∧ x2 ≤ y2 ⇒ max x1 x2 ≤ max y1 y2

max_refl

|- ∀x. max x x = x

max_comm

|- ∀x y. max x y = max y x

max_infty

|- ∀x.
     (max x PosInf = PosInf) ∧ (max PosInf x = PosInf) ∧ (max NegInf x = x) ∧
     (max x NegInf = x)

Q_not_infty

|- ∀x. x ∈ Q_set ⇒ ∃y. x = Normal y

Q_COUNTABLE

|- countable Q_set

NUM_IN_Q

|- ∀n. &n ∈ Q_set ∧ -&n ∈ Q_set

Q_INFINITE

|- INFINITE Q_set

OPP_IN_Q

|- ∀x. x ∈ Q_set ⇒ -x ∈ Q_set

INV_IN_Q

|- ∀x. x ∈ Q_set ∧ x ≠ 0 ⇒ 1 / x ∈ Q_set

CMUL_IN_Q

|- ∀z x. x ∈ Q_set ⇒ &z * x ∈ Q_set ∧ -&z * x ∈ Q_set

ADD_IN_Q

|- ∀x y. x ∈ Q_set ∧ y ∈ Q_set ⇒ x + y ∈ Q_set

SUB_IN_Q

|- ∀x y. x ∈ Q_set ∧ y ∈ Q_set ⇒ x − y ∈ Q_set

MUL_IN_Q

|- ∀x y. x ∈ Q_set ∧ y ∈ Q_set ⇒ x * y ∈ Q_set

DIV_IN_Q

|- ∀x y. x ∈ Q_set ∧ y ∈ Q_set ∧ y ≠ 0 ⇒ x / y ∈ Q_set

rat_not_infty

|- ∀r. r ∈ Q_set ⇒ r ≠ NegInf ∧ r ≠ PosInf

CEILING_LBOUND

|- ∀x. Normal x ≤ &ceiling (Normal x)

CEILING_UBOUND

|- ∀x. 0 ≤ x ⇒ &ceiling (Normal x) < Normal x + 1

Q_DENSE_IN_R_LEMMA

|- ∀x y. 0 ≤ x ∧ x < y ⇒ ∃r. r ∈ Q_set ∧ x < r ∧ r < y

Q_DENSE_IN_R

|- ∀x y. x < y ⇒ ∃r. r ∈ Q_set ∧ x < r ∧ r < y

COUNTABLE_ENUM_Q

|- ∀c. countable c ⇔ (c = ∅) ∨ ∃f. c = IMAGE f Q_set

CROSS_COUNTABLE_UNIV

|- countable (𝕌(:num) × 𝕌(:num))

CROSS_COUNTABLE_LEMMA1

|- ∀s. countable s ∧ FINITE s ∧ countable t ⇒ countable (s × t)

CROSS_COUNTABLE_LEMMA2

|- ∀s. countable s ∧ countable t ∧ FINITE t ⇒ countable (s × t)

CROSS_COUNTABLE

|- ∀s. countable s ∧ countable t ⇒ countable (s × t)

COUNTABLE_RATIONAL_INTERVALS

|- countable rational_intervals