Theory "relation"

Signature

Definitions

WFREC_DEF

⊢ ∀R M.
      WFREC R M =
      (λx. M (RESTRICT (the_fun R⁺ (λf v. M (RESTRICT f R v) v) x) R x) x)

WFP_DEF

⊢ ∀R a. WFP R a ⇔ ∀P. (∀x. (∀y. R y x ⇒ P y) ⇒ P x) ⇒ P a

WF_DEF

⊢ ∀R. WF R ⇔ ∀B. (∃w. B w) ⇒ ∃min. B min ∧ ∀b. R b min ⇒ ¬B b

WeakOrder

⊢ ∀Z. WeakOrder Z ⇔ reflexive Z ∧ antisymmetric Z ∧ transitive Z

WeakLinearOrder

⊢ ∀R. WeakLinearOrder R ⇔ WeakOrder R ∧ trichotomous R

WCR_def

⊢ ∀R. WCR R ⇔ ∀x y z. R x y ∧ R x z ⇒ ∃u. R⃰ y u ∧ R⃰ z u

trichotomous

⊢ ∀R. trichotomous R ⇔ ∀a b. R a b ∨ R b a ∨ (a = b)

transitive_def

⊢ ∀R. transitive R ⇔ ∀x y z. R x y ∧ R y z ⇒ R x z

total_def

⊢ ∀R. total R ⇔ ∀x y. R x y ∨ R y x

the_fun_def

⊢ ∀R M x. the_fun R M x = @f. approx R M x f

TC_DEF

⊢ ∀R a b.
      R⁺ a b ⇔
      ∀P. (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x y z. P x y ∧ P y z ⇒ P x z) ⇒ P a b

symmetric_def

⊢ ∀R. symmetric R ⇔ ∀x y. R x y ⇔ R y x

STRORD

⊢ ∀R a b. STRORD R a b ⇔ R a b ∧ a ≠ b

StrongOrder

⊢ ∀Z. StrongOrder Z ⇔ irreflexive Z ∧ transitive Z

StrongLinearOrder

⊢ ∀R. StrongLinearOrder R ⇔ StrongOrder R ∧ trichotomous R

SN_def

⊢ ∀R. SN R ⇔ WF Rᵀ

SC_DEF

⊢ ∀R x y. SC R x y ⇔ R x y ∨ R y x

RUNIV

⊢ ∀x y. 𝕌ᵣ x y ⇔ T

RUNION

⊢ ∀R1 R2 x y. (R1 ∪ᵣ R2) x y ⇔ R1 x y ∨ R2 x y

RTC_def

⊢ RTC =
  (λR a0 a1.
       ∀RTC'.
           (∀a0 a1. (a1 = a0) ∨ (∃y. R a0 y ∧ RTC' y a1) ⇒ RTC' a0 a1) ⇒
           RTC' a0 a1)

RSUBSET

⊢ ∀R1 R2. R1 ⊆ᵣ R2 ⇔ ∀x y. R1 x y ⇒ R2 x y

RRESTRICT_DEF

⊢ ∀R s x y. RRESTRICT R s x y ⇔ R x y ∧ x ∈ s

RRANGE

⊢ ∀R y. RRANGE R y ⇔ ∃x. R x y

RINTER

⊢ ∀R1 R2 x y. (R1 ∩ᵣ R2) x y ⇔ R1 x y ∧ R2 x y

RESTRICT_DEF

⊢ ∀f R x. RESTRICT f R x = (λy. if R y x then f y else ARB)

reflexive_def

⊢ ∀R. reflexive R ⇔ ∀x. R x x

RDOM_DELETE_DEF

⊢ ∀R x u v. (R \\ x) u v ⇔ R u v ∧ u ≠ x

RDOM_DEF

⊢ ∀R x. RDOM R x ⇔ ∃y. R x y

RCOMPL

⊢ ∀R x y. RCOMPL R x y ⇔ ¬R x y

rcdiamond_def

⊢ ∀R. rcdiamond R ⇔ ∀x y z. R x y ∧ R x z ⇒ ∃u. RC R y u ∧ RC R z u

RC_DEF

⊢ ∀R x y. RC R x y ⇔ (x = y) ∨ R x y

PreOrder

⊢ ∀R. PreOrder R ⇔ reflexive R ∧ transitive R

Order

⊢ ∀Z. Order Z ⇔ antisymmetric Z ∧ transitive Z

O_DEF

⊢ ∀R1 R2 x z. (R1 ∘ᵣ R2) x z ⇔ ∃y. R2 x y ∧ R1 y z

nf_def

⊢ ∀R x. nf R x ⇔ ∀y. ¬R x y

LinearOrder

⊢ ∀R. LinearOrder R ⇔ Order R ∧ trichotomous R

irreflexive_def

⊢ ∀R. irreflexive R ⇔ ∀x. ¬R x x

INVOL_DEF

⊢ ∀f. INVOL f ⇔ (f ∘ f = I)

inv_image_def

⊢ ∀R f. inv_image R f = (λx y. R (f x) (f y))

inv_DEF

⊢ ∀R x y. Rᵀ x y ⇔ R y x

INDUCTIVE_INVARIANT_ON_DEF

⊢ ∀R D P M.
      INDUCTIVE_INVARIANT_ON R D P M ⇔
      ∀f x. D x ∧ (∀y. D y ⇒ R y x ⇒ P y (f y)) ⇒ P x (M f x)

INDUCTIVE_INVARIANT_DEF

⊢ ∀R P M.
      INDUCTIVE_INVARIANT R P M ⇔ ∀f x. (∀y. R y x ⇒ P y (f y)) ⇒ P x (M f x)

IDEM_DEF

⊢ ∀f. IDEM f ⇔ (f ∘ f = f)

equivalence_def

⊢ ∀R. equivalence R ⇔ reflexive R ∧ symmetric R ∧ transitive R

EQC_DEF

⊢ ∀R. R^= = RC (SC R)⁺

EMPTY_REL_DEF

⊢ ∀x y. ∅ᵣ x y ⇔ F

diamond_def

⊢ ∀R. diamond R ⇔ ∀x y z. R x y ∧ R x z ⇒ ∃u. R y u ∧ R z u

diag_def

⊢ ∀A x y. diag A x y ⇔ (x = y) ∧ x ∈ A

CR_def

⊢ ∀R. CR R ⇔ diamond R⃰

approx_def

⊢ ∀R M x f. approx R M x f ⇔ (f = RESTRICT (λy. M (RESTRICT f R y) y) R x)

antisymmetric_def

⊢ ∀R. antisymmetric R ⇔ ∀x y. R x y ∧ R y x ⇒ (x = y)

Theorems

WFREC_THM

⊢ ∀R M. WF R ⇒ ∀x. WFREC R M x = M (RESTRICT (WFREC R M) R x) x

WFREC_COROLLARY

⊢ ∀M R f. (f = WFREC R M) ⇒ WF R ⇒ ∀x. f x = M (RESTRICT f R x) x

WFP_STRONG_INDUCT

⊢ ∀R. (∀x. WFP R x ∧ (∀y. R y x ⇒ P y) ⇒ P x) ⇒ ∀x. WFP R x ⇒ P x

WFP_RULES

⊢ ∀R x. (∀y. R y x ⇒ WFP R y) ⇒ WFP R x

WFP_INDUCT

⊢ ∀R P. (∀x. (∀y. R y x ⇒ P y) ⇒ P x) ⇒ ∀x. WFP R x ⇒ P x

WFP_CASES

⊢ ∀R x. WFP R x ⇔ ∀y. R y x ⇒ WFP R y

WF_TC_EQN

⊢ WF R⁺ ⇔ WF R

WF_TC

⊢ ∀R. WF R ⇒ WF R⁺

WF_SUBSET

⊢ ∀R P. WF R ∧ (∀x y. P x y ⇒ R x y) ⇒ WF P

WF_RECURSION_THM

⊢ ∀R. WF R ⇒ ∀M. ∃!f. ∀x. f x = M (RESTRICT f R x) x

WF_NOT_REFL

⊢ ∀R x y. WF R ⇒ R x y ⇒ x ≠ y

WF_noloops

⊢ WF R ⇒ R⁺ x y ⇒ x ≠ y

WF_irreflexive

⊢ WF R ⇒ irreflexive R

WF_inv_image

⊢ ∀R f. WF R ⇒ WF (inv_image R f)

WF_INDUCTION_THM

⊢ ∀R. WF R ⇒ ∀P. (∀x. (∀y. R y x ⇒ P y) ⇒ P x) ⇒ ∀x. P x

WF_EQ_WFP

⊢ ∀R. WF R ⇔ ∀x. WFP R x

WF_EQ_INDUCTION_THM

⊢ ∀R. WF R ⇔ ∀P. (∀x. (∀y. R y x ⇒ P y) ⇒ P x) ⇒ ∀x. P x

WF_EMPTY_REL

⊢ WF ∅ᵣ

WF_antisymmetric

⊢ WF R ⇒ antisymmetric R

WeakOrder_EQ

⊢ ∀R. WeakOrder R ⇒ ∀y z. (y = z) ⇔ R y z ∧ R z y

WeakOrd_Ord

⊢ ∀R. WeakOrder R ⇒ Order R

WeakLinearOrder_dichotomy

⊢ ∀R. WeakLinearOrder R ⇔ WeakOrder R ∧ ∀a b. R a b ∨ R b a

trichotomous_STRORD

⊢ trichotomous (STRORD R) ⇔ trichotomous R

trichotomous_RC

⊢ trichotomous (RC R) ⇔ trichotomous R

transitive_TC_identity

⊢ ∀R. transitive R ⇒ (R⁺ = R)

transitive_RTC

⊢ ∀R. transitive R⃰

transitive_RINTER

⊢ transitive R1 ∧ transitive R2 ⇒ transitive (R1 ∩ᵣ R2)

transitive_RC

⊢ ∀R. transitive R ⇒ transitive (RC R)

transitive_O_RSUBSET

⊢ transitive R ⇔ R ∘ᵣ R ⊆ᵣ R

transitive_inv_image

⊢ ∀R f. transitive R ⇒ transitive (inv_image R f)

transitive_inv

⊢ ∀R. transitive Rᵀ ⇔ transitive R

transitive_EQC

⊢ transitive R^=

total_inv_image

⊢ ∀R f. total R ⇒ total (inv_image R f)

TFL_INDUCTIVE_INVARIANT_WFREC

⊢ ∀f R P M x. (f = WFREC R M) ∧ WF R ∧ INDUCTIVE_INVARIANT R P M ⇒ P x (f x)

TFL_INDUCTIVE_INVARIANT_ON_WFREC

⊢ ∀f R D P M x.
      (f = WFREC R M) ∧ WF R ∧ INDUCTIVE_INVARIANT_ON R D P M ∧ D x ⇒
      P x (f x)

TC_TRANSITIVE

⊢ ∀R. transitive R⁺

TC_SUBSET

⊢ ∀R x y. R x y ⇒ R⁺ x y

TC_STRONG_INDUCT_RIGHT1

⊢ ∀R P.
      (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x y z. P x y ∧ R⁺ x y ∧ R y z ⇒ P x z) ⇒
      ∀u v. R⁺ u v ⇒ P u v

TC_STRONG_INDUCT_LEFT1

⊢ ∀R P.
      (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x y z. R x y ∧ P y z ∧ R⁺ y z ⇒ P x z) ⇒
      ∀u v. R⁺ u v ⇒ P u v

TC_STRONG_INDUCT

⊢ ∀R P.
      (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧
      (∀x y z. P x y ∧ P y z ∧ R⁺ x y ∧ R⁺ y z ⇒ P x z) ⇒
      ∀u v. R⁺ u v ⇒ P u v

TC_RULES

⊢ ∀R. (∀x y. R x y ⇒ R⁺ x y) ∧ ∀x y z. R⁺ x y ∧ R⁺ y z ⇒ R⁺ x z

TC_RTC

⊢ ∀R x y. R⁺ x y ⇒ R⃰ x y

TC_RC_EQNS

⊢ ∀R. (RC R⁺ = R⃰) ∧ ((RC R)⁺ = R⃰)

TC_MONOTONE

⊢ (∀x y. R x y ⇒ Q x y) ⇒ R⁺ x y ⇒ Q⁺ x y

TC_lifts_transitive_relations

⊢ (∀x y. R x y ⇒ Q (f x) (f y)) ∧ transitive Q ⇒ ∀x y. R⁺ x y ⇒ Q (f x) (f y)

TC_lifts_monotonicities

⊢ (∀x y. R x y ⇒ R (f x) (f y)) ⇒ ∀x y. R⁺ x y ⇒ R⁺ (f x) (f y)

TC_lifts_invariants

⊢ (∀x y. P x ∧ R x y ⇒ P y) ⇒ ∀x y. P x ∧ R⁺ x y ⇒ P y

TC_lifts_equalities

⊢ (∀x y. R x y ⇒ (f x = f y)) ⇒ ∀x y. R⁺ x y ⇒ (f x = f y)

TC_INDUCT_RIGHT1

⊢ ∀R P.
      (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x y z. P x y ∧ R y z ⇒ P x z) ⇒
      ∀x y. R⁺ x y ⇒ P x y

TC_INDUCT_LEFT1

⊢ ∀R P.
      (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x y z. R x y ∧ P y z ⇒ P x z) ⇒
      ∀x y. R⁺ x y ⇒ P x y

TC_INDUCT_ALT_RIGHT

⊢ ∀R Q. (∀y. R a y ⇒ Q y) ∧ (∀x y. Q x ∧ R x y ⇒ Q y) ⇒ ∀b. R⁺ a b ⇒ Q b

TC_INDUCT_ALT_LEFT

⊢ ∀R Q. (∀x. R x b ⇒ Q x) ∧ (∀x y. R x y ∧ Q y ⇒ Q x) ⇒ ∀a. R⁺ a b ⇒ Q a

TC_INDUCT

⊢ ∀R P.
      (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x y z. P x y ∧ P y z ⇒ P x z) ⇒
      ∀u v. R⁺ u v ⇒ P u v

TC_implies_one_step

⊢ ∀x y. R⁺ x y ∧ x ≠ y ⇒ ∃z. R x z ∧ x ≠ z

TC_IDEM

⊢ ∀R. R⁺ ⁺ = R⁺

TC_CASES2_E

⊢ ∀R x z. R⁺ x z ⇒ R x z ∨ ∃y. R⁺ x y ∧ R y z

TC_CASES2

⊢ R⁺ x z ⇔ R x z ∨ ∃y. R⁺ x y ∧ R y z

TC_CASES1_E

⊢ ∀R x z. R⁺ x z ⇒ R x z ∨ ∃y. R x y ∧ R⁺ y z

TC_CASES1

⊢ R⁺ x z ⇔ R x z ∨ ∃y. R x y ∧ R⁺ y z

symmetric_TC

⊢ ∀R. symmetric R ⇒ symmetric R⁺

symmetric_SC_identity

⊢ ∀R. symmetric R ⇒ (SC R = R)

symmetric_RC

⊢ ∀R. symmetric (RC R) ⇔ symmetric R

symmetric_inv_RSUBSET

⊢ symmetric R ⇔ Rᵀ ⊆ᵣ R

symmetric_inv_image

⊢ ∀R f. symmetric R ⇒ symmetric (inv_image R f)

symmetric_inv_identity

⊢ ∀R. symmetric R ⇒ (Rᵀ = R)

symmetric_inv

⊢ ∀R. symmetric Rᵀ ⇔ symmetric R

symmetric_EQC

⊢ symmetric R^=

STRORD_Strong

⊢ ∀R. Order R ⇔ StrongOrder (STRORD R)

STRORD_RC

⊢ ∀R. StrongOrder R ⇒ (STRORD (RC R) = R)

STRORD_AND_NOT_Id

⊢ STRORD R = R ∩ᵣ RCOMPL $=

StrongOrd_Ord

⊢ ∀R. StrongOrder R ⇒ Order R

STRONG_EQC_INDUCTION

⊢ ∀R P.
      (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x. P x x) ∧ (∀x y. R^= x y ∧ P x y ⇒ P y x) ∧
      (∀x y z. P x y ∧ P y z ∧ R^= x y ∧ R^= y z ⇒ P x z) ⇒
      ∀x y. R^= x y ⇒ P x y

SC_SYMMETRIC

⊢ ∀R. symmetric (SC R)

SC_MONOTONE

⊢ (∀x y. R x y ⇒ Q x y) ⇒ SC R x y ⇒ SC Q x y

SC_lifts_monotonicities

⊢ (∀x y. R x y ⇒ R (f x) (f y)) ⇒ ∀x y. SC R x y ⇒ SC R (f x) (f y)

SC_lifts_equalities

⊢ (∀x y. R x y ⇒ (f x = f y)) ⇒ ∀x y. SC R x y ⇒ (f x = f y)

SC_IDEM

⊢ ∀R. SC (SC R) = SC R

RUNIV_SUBSET

⊢ (𝕌ᵣ ⊆ᵣ R ⇔ (R = 𝕌ᵣ)) ∧ R ⊆ᵣ 𝕌ᵣ

RUNION_COMM

⊢ R1 ∪ᵣ R2 = R2 ∪ᵣ R1

RUNION_ASSOC

⊢ R1 ∪ᵣ (R2 ∪ᵣ R3) = R1 ∪ᵣ R2 ∪ᵣ R3

RTC_TRANSITIVE

⊢ ∀R. transitive R⃰

RTC_TC_RC

⊢ ∀R x y. R⃰ x y ⇒ RC R x y ∨ R⁺ x y

RTC_SUBSET

⊢ ∀R x y. R x y ⇒ R⃰ x y

RTC_strongind

⊢ ∀R RTC'.
      (∀x. RTC' x x) ∧ (∀x y z. R x y ∧ R⃰ y z ∧ RTC' y z ⇒ RTC' x z) ⇒
      ∀a0 a1. R⃰ a0 a1 ⇒ RTC' a0 a1

RTC_STRONG_INDUCT_RIGHT1

⊢ ∀R P.
      (∀x. P x x) ∧ (∀x y z. P x y ∧ R⃰ x y ∧ R y z ⇒ P x z) ⇒
      ∀x y. R⃰ x y ⇒ P x y

RTC_STRONG_INDUCT

⊢ ∀R P.
      (∀x. P x x) ∧ (∀x y z. R x y ∧ R⃰ y z ∧ P y z ⇒ P x z) ⇒
      ∀x y. R⃰ x y ⇒ P x y

RTC_SINGLE

⊢ ∀R x y. R x y ⇒ R⃰ x y

RTC_RULES_RIGHT1

⊢ ∀R. (∀x. R⃰ x x) ∧ ∀x y z. R⃰ x y ∧ R y z ⇒ R⃰ x z

RTC_RULES

⊢ ∀R. (∀x. R⃰ x x) ∧ ∀x y z. R x y ∧ R⃰ y z ⇒ R⃰ x z

RTC_rules

⊢ ∀R. (∀x. R⃰ x x) ∧ ∀x y z. R x y ∧ R⃰ y z ⇒ R⃰ x z

RTC_RTC

⊢ ∀R x y. R⃰ x y ⇒ ∀z. R⃰ y z ⇒ R⃰ x z

RTC_RINTER

⊢ ∀R1 R2 x y. (R1 ∩ᵣ R2)⃰ x y ⇒ (R1⃰ ∩ᵣ R2⃰) x y

RTC_REFLEXIVE

⊢ ∀R. reflexive R⃰

RTC_REFL

⊢ R⃰ x x

RTC_MONOTONE

⊢ (∀x y. R x y ⇒ Q x y) ⇒ R⃰ x y ⇒ Q⃰ x y

RTC_lifts_reflexive_transitive_relations

⊢ (∀x y. R x y ⇒ Q (f x) (f y)) ∧ reflexive Q ∧ transitive Q ⇒
  ∀x y. R⃰ x y ⇒ Q (f x) (f y)

RTC_lifts_monotonicities

⊢ (∀x y. R x y ⇒ R (f x) (f y)) ⇒ ∀x y. R⃰ x y ⇒ R⃰ (f x) (f y)

RTC_lifts_invariants

⊢ (∀x y. P x ∧ R x y ⇒ P y) ⇒ ∀x y. P x ∧ R⃰ x y ⇒ P y

RTC_lifts_equalities

⊢ (∀x y. R x y ⇒ (f x = f y)) ⇒ ∀x y. R⃰ x y ⇒ (f x = f y)

RTC_INDUCT_RIGHT1

⊢ ∀R P. (∀x. P x x) ∧ (∀x y z. P x y ∧ R y z ⇒ P x z) ⇒ ∀x y. R⃰ x y ⇒ P x y

RTC_INDUCT

⊢ ∀R P. (∀x. P x x) ∧ (∀x y z. R x y ∧ P y z ⇒ P x z) ⇒ ∀x y. R⃰ x y ⇒ P x y

RTC_ind

⊢ ∀R RTC'.
      (∀x. RTC' x x) ∧ (∀x y z. R x y ∧ RTC' y z ⇒ RTC' x z) ⇒
      ∀a0 a1. R⃰ a0 a1 ⇒ RTC' a0 a1

RTC_IDEM

⊢ ∀R. R⃰ ⃰ = R⃰

RTC_EQC

⊢ ∀x y. R⃰ x y ⇒ R^= x y

RTC_CASES_TC

⊢ ∀R x y. R⃰ x y ⇔ (x = y) ∨ R⁺ x y

RTC_CASES_RTC_TWICE

⊢ ∀R x y. R⃰ x y ⇔ ∃u. R⃰ x u ∧ R⃰ u y

RTC_CASES2

⊢ ∀R x y. R⃰ x y ⇔ (x = y) ∨ ∃u. R⃰ x u ∧ R u y

RTC_CASES1

⊢ ∀R x y. R⃰ x y ⇔ (x = y) ∨ ∃u. R x u ∧ R⃰ u y

RTC_cases

⊢ ∀R a0 a1. R⃰ a0 a1 ⇔ (a1 = a0) ∨ ∃y. R a0 y ∧ R⃰ y a1

RTC_ALT_RIGHT_INDUCT

⊢ ∀R Q a. Q a ∧ (∀y z. Q y ∧ R y z ⇒ Q z) ⇒ ∀z. R⃰ a z ⇒ Q z

RTC_ALT_RIGHT_DEF

⊢ ∀R a b. R⃰ a b ⇔ ∀Q. Q a ∧ (∀y z. Q y ∧ R y z ⇒ Q z) ⇒ Q b

RTC_ALT_INDUCT

⊢ ∀R Q b. Q b ∧ (∀x y. R x y ∧ Q y ⇒ Q x) ⇒ ∀x. R⃰ x b ⇒ Q x

RTC_ALT_DEF

⊢ ∀R a b. R⃰ a b ⇔ ∀Q. Q b ∧ (∀x y. R x y ∧ Q y ⇒ Q x) ⇒ Q a

RSUBSET_WeakOrder

⊢ WeakOrder $RSUBSET

RSUBSET_antisymmetric

⊢ antisymmetric $RSUBSET

RSUBSET_ANTISYM

⊢ ∀R1 R2. R1 ⊆ᵣ R2 ∧ R2 ⊆ᵣ R1 ⇒ (R1 = R2)

RINTER_COMM

⊢ R1 ∩ᵣ R2 = R2 ∩ᵣ R1

RINTER_ASSOC

⊢ R1 ∩ᵣ (R2 ∩ᵣ R3) = R1 ∩ᵣ R2 ∩ᵣ R3

RESTRICT_LEMMA

⊢ ∀f R y z. R y z ⇒ (RESTRICT f R z y = f y)

REMPTY_SUBSET

⊢ ∅ᵣ ⊆ᵣ R ∧ (R ⊆ᵣ ∅ᵣ ⇔ (R = ∅ᵣ))

reflexive_TC

⊢ ∀R. reflexive R ⇒ reflexive R⁺

reflexive_RTC

⊢ ∀R. reflexive R⃰

reflexive_RC_identity

⊢ ∀R. reflexive R ⇒ (RC R = R)

reflexive_RC

⊢ ∀R. reflexive (RC R)

reflexive_inv_image

⊢ ∀R f. reflexive R ⇒ reflexive (inv_image R f)

reflexive_inv

⊢ ∀R. reflexive Rᵀ ⇔ reflexive R

reflexive_Id_RSUBSET

⊢ ∀R. reflexive R ⇔ $= ⊆ᵣ R

reflexive_EQC

⊢ reflexive R^=

rcdiamond_diamond

⊢ ∀R. rcdiamond R ⇔ diamond (RC R)

RC_Weak

⊢ Order R ⇔ WeakOrder (RC R)

RC_SUBSET

⊢ ∀R x y. R x y ⇒ RC R x y

RC_STRORD

⊢ ∀R. WeakOrder R ⇒ (RC (STRORD R) = R)

RC_RTC

⊢ ∀R x y. RC R x y ⇒ R⃰ x y

RC_REFLEXIVE

⊢ ∀R. reflexive (RC R)

RC_OR_Id

⊢ RC R = R ∪ᵣ $=

RC_MOVES_OUT

⊢ ∀R. (SC (RC R) = RC (SC R)) ∧ (RC (RC R) = RC R) ∧ ((RC R)⁺ = RC R⁺)

RC_MONOTONE

⊢ (∀x y. R x y ⇒ Q x y) ⇒ RC R x y ⇒ RC Q x y

RC_lifts_monotonicities

⊢ (∀x y. R x y ⇒ R (f x) (f y)) ⇒ ∀x y. RC R x y ⇒ RC R (f x) (f y)

RC_lifts_invariants

⊢ (∀x y. P x ∧ R x y ⇒ P y) ⇒ ∀x y. P x ∧ RC R x y ⇒ P y

RC_lifts_equalities

⊢ (∀x y. R x y ⇒ (f x = f y)) ⇒ ∀x y. RC R x y ⇒ (f x = f y)

RC_IDEM

⊢ ∀R. RC (RC R) = RC R

O_MONO

⊢ R1 ⊆ᵣ R2 ∧ S1 ⊆ᵣ S2 ⇒ R1 ∘ᵣ S1 ⊆ᵣ R2 ∘ᵣ S2

O_Id

⊢ R ∘ᵣ $= = R

O_ASSOC

⊢ R1 ∘ᵣ R2 ∘ᵣ R3 = (R1 ∘ᵣ R2) ∘ᵣ R3

NOT_INVOL

⊢ INVOL $~

Newmans_lemma

⊢ ∀R. WCR R ∧ SN R ⇒ CR R

irreflexive_RSUBSET

⊢ ∀R1 R2. irreflexive R2 ∧ R1 ⊆ᵣ R2 ⇒ irreflexive R1

irreflexive_inv

⊢ ∀R. irreflexive Rᵀ ⇔ irreflexive R

irrefl_trans_implies_antisym

⊢ ∀R. irreflexive R ∧ transitive R ⇒ antisymmetric R

INVOL_ONE_ONE

⊢ ∀f. INVOL f ⇒ ∀a b. (f a = f b) ⇔ (a = b)

INVOL_ONE_ENO

⊢ ∀f. INVOL f ⇒ ∀a b. (f a = b) ⇔ (a = f b)

INVOL

⊢ ∀f. INVOL f ⇔ ∀x. f (f x) = x

inv_TC

⊢ ∀R. R⁺ ᵀ = Rᵀ ⁺

inv_SC

⊢ ∀R. ((SC R)ᵀ = SC R) ∧ (SC Rᵀ = SC R)

inv_RC

⊢ ∀R. (RC R)ᵀ = RC Rᵀ

inv_O

⊢ ∀R R'. (R ∘ᵣ R')ᵀ = R'ᵀ ∘ᵣ Rᵀ

inv_MOVES_OUT

⊢ ∀R.
      (Rᵀ ᵀ = R) ∧ (SC Rᵀ = SC R) ∧ (RC Rᵀ = (RC R)ᵀ) ∧ (Rᵀ ⁺ = R⁺ ᵀ) ∧
      (Rᵀ ⃰ = R⃰ ᵀ) ∧ (Rᵀ ^= = R^=)

inv_INVOL

⊢ INVOL relinv

inv_inv

⊢ ∀R. Rᵀ ᵀ = R

inv_image_thm

⊢ ∀R f x y. inv_image R f x y ⇔ R (f x) (f y)

inv_Id

⊢ $= ᵀ = $=

inv_EQC

⊢ ∀R. (R^= ᵀ = R^=) ∧ (Rᵀ ^= = R^=)

inv_diag

⊢ (diag A)ᵀ = diag A

INDUCTIVE_INVARIANT_WFREC

⊢ ∀R P M. WF R ∧ INDUCTIVE_INVARIANT R P M ⇒ ∀x. P x (WFREC R M x)

INDUCTIVE_INVARIANT_ON_WFREC

⊢ ∀R P M D x. WF R ∧ INDUCTIVE_INVARIANT_ON R D P M ∧ D x ⇒ P x (WFREC R M x)

INDUCTION_WF_THM

⊢ ∀R. (∀P. (∀x. (∀y. R y x ⇒ P y) ⇒ P x) ⇒ ∀x. P x) ⇒ WF R

IN_RRANGE

⊢ y ∈ RRANGE R ⇔ ∃x. R x y

IN_RDOM_RUNION

⊢ x ∈ RDOM (R1 ∪ᵣ R2) ⇔ x ∈ RDOM R1 ∨ x ∈ RDOM R2

IN_RDOM_RRESTRICT

⊢ x ∈ RDOM (RRESTRICT R s) ⇔ x ∈ RDOM R ∧ x ∈ s

IN_RDOM_DELETE

⊢ x ∈ RDOM (R \\ k) ⇔ x ∈ RDOM R ∧ x ≠ k

IN_RDOM

⊢ x ∈ RDOM R ⇔ ∃y. R x y

IDEM_TC

⊢ IDEM TC

IDEM_STRORD

⊢ IDEM STRORD

IDEM_SC

⊢ IDEM SC

IDEM_RTC

⊢ IDEM RTC

IDEM_RC

⊢ IDEM RC

IDEM

⊢ ∀f. IDEM f ⇔ ∀x. f (f x) = f x

Id_O

⊢ $= ∘ᵣ R = R

EXTEND_RTC_TC_EQN

⊢ ∀R x z. R⁺ x z ⇔ ∃y. R x y ∧ R⃰ y z

EXTEND_RTC_TC

⊢ ∀R x y z. R x y ∧ R⃰ y z ⇒ R⁺ x z

establish_CR

⊢ ∀R. (rcdiamond R ⇒ CR R) ∧ (diamond R ⇒ CR R)

equivalence_inv_identity

⊢ ∀R. equivalence R ⇒ (Rᵀ = R)

EqIsBothRSUBSET

⊢ ∀y z. (y = z) ⇔ y ⊆ᵣ z ∧ z ⊆ᵣ y

EQC_TRANS

⊢ ∀R x y z. R^= x y ∧ R^= y z ⇒ R^= x z

EQC_SYM

⊢ ∀R x y. R^= x y ⇒ R^= y x

EQC_REFL

⊢ ∀R x. R^= x x

EQC_R

⊢ ∀R x y. R x y ⇒ R^= x y

EQC_MOVES_IN

⊢ ∀R. ((RC R)^= = R^=) ∧ ((SC R)^= = R^=) ∧ (R⁺ ^= = R^=)

EQC_MONOTONE

⊢ (∀x y. R x y ⇒ R' x y) ⇒ R^= x y ⇒ R'^= x y

EQC_INDUCTION

⊢ ∀R P.
      (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x. P x x) ∧ (∀x y. P x y ⇒ P y x) ∧
      (∀x y z. P x y ∧ P y z ⇒ P x z) ⇒
      ∀x y. R^= x y ⇒ P x y

EQC_IDEM

⊢ ∀R. R^= ^= = R^=

EQC_EQUIVALENCE

⊢ ∀R. equivalence R^=

diamond_TC_diamond

⊢ ∀R. diamond R ⇒ diamond R⁺

diamond_RC_diamond

⊢ ∀R. diamond R ⇒ diamond (RC R)

antisymmetric_RINTER

⊢ (antisymmetric R1 ⇒ antisymmetric (R1 ∩ᵣ R2)) ∧
  (antisymmetric R2 ⇒ antisymmetric (R1 ∩ᵣ R2))

antisymmetric_RC

⊢ ∀R. antisymmetric (RC R) ⇔ antisymmetric R

antisymmetric_inv

⊢ ∀R. antisymmetric Rᵀ ⇔ antisymmetric R

ALT_equivalence

⊢ ∀R. equivalence R ⇔ ∀x y. R x y ⇔ (R x = R y)